S · Moments

AQA A-level Mathematics 7357, סעיף S (מומנטים), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

דרישות קדמות: כוחות וחוקי ניוטון מסעיף R.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• מפתח ארוך משחרר בורג צמוד שאינו זז עם מפתח קצר, בדיוק באותה דחיפה. מאיפה נובע השפעת הסיבוב הנוספת?
• לפני הקריאה, אמור מה תלויה השפעת הסיבוב של כוח, ולמה הכפלת אורך הידית מכפילה אותה.

השיטה

• ה-מומנט של כוח ביחס לנקודה הוא הכוח כפול המרחק האנכי מן הנקודה לקו הפעולה של הכוח, ב-N m. כוח העובר דרך הנקודה יש לו מרחק אפס ומומנט אפס — הוא אינו יכול לסובב את הגוף סביב נקודה זו.
• גוף נמצא באיזון רק כאשר שתי התנאים מתקיימים: הכוחות סוכמים לאפס (ללא תנועת מעבר) AND המומנטים ביחס לכל נקודה סוכמים לאפס (ללא סיבוב). לקיחת מומנטים ביחס לציר כוח בלתי ידוע מסירה אותו מהמשוואה, כי המרחק שלו הוא אפס — משוואה אחת, נעלם אחד.
• מומנט: כוח × מרחק אנכי מן הנקודה לקו הפעולה של הכוח, ב-N m; איזון: מצב עם כוח שקול אפס ומומנט שקול אפס, כך ללא תנועת מעבר וללא סיבוב; ציר: הנקודה ביחס אליה לוקחים מומנטים או גוף מסתובב.

בדיקת עבודתכם

• בחרו נקודה לקיחת מומנטים כך שהאי-הידוע המסורבל ביותר יעבור דרכה. עבור קורה על שני תומכים, נקחו מומנטים סביב אחד התומכים כדי למצוא את תגובת השני, ולאחר מכן נשתמש ב-ΣF = 0 עבור הראשון.
• The distance is measured to the LINE of the force, not to where the force is drawn: a force at 40° to a 3 m bar has perpendicular distance 3 sin 40°, not 3 m.

מקרה מפורט

• Known: a light 4 m beam rests on supports A and B at its ends, with a 260 N load 1 m from A. Moments about A: R_B × 4 = 260 × 1, so R_B = 65 N. Vertical forces: R_A + R_B = 260, so R_A = 195 N. The check R_A + R_B = 260 ✓ and moments about B (195 × 4 = 260 × 3 = 780 ✓) both close.

דוגמה:

A uniform 6 m plank of weight 200 N rests on supports at its ends, and a 400 N crate sits 2 m from one end. Find both reactions, using the same sequence: moments about one support → ΣF = 0 → check about the other. (Answer: moments about the near support give 6R_far = 400 × 2 + 200 × 3 = 1,400, so R_far ≈ 233 N and R_near = 600 − 233 ≈ 367 N.)

גבולות ומלכודות

• נקחו מומנטים סביב נקודה שנייה לבדיקה: טעות חריגה במשוואה הראשונה תופיע מיד. שתי התגובות של קורה נתוגכת חייבות להיות חיוביות — תגובה שלילית מעידה שהקורה תתנשא מתומך זה והמודל השתנה.

אזהרה:

תוצאת כוחות אפס היא מספיקה לשיווי משקל. טענה זו שגויה: שני כוחות שווים ובניגוד בכיוונם הנמצאים בנקודות שונות (זוג כוחות) נותנים תוצאת כוחות אפס אך עדיין מסובבים את הגוף. שיווי משקל דורש גם מומנט תוצאתי אפס — ולכן אורך המפתח חשוב גם כאשר הדחיפה אינה משתנה.

מפת מושגים:

Moments: moment = force × perpendicular distance in N m; equilibrium needs ΣF = 0 AND ΣM = 0; take moments about an unknown force to remove it, and check by re-taking moments about a second point.