N · Statistical distributions

AQA A-level Mathematics 7357, נק' N (התפלגויות סטטיסטיות), גרסה 1.3 (הערכה ראשונה 2018). הערות הוראה מקוריות.

תנאי קבלה: הסתברות מפק' M.

דוגמאות הוראה מקוריות אלו, ולא חומר רשמי של AQA.

השאלה

• מכונה ממליאה בקבוקים עם מעט פיזור סביב 500 מ"ל, בעוד ספירת פגמים היא תמיד מספר שלם. דגם אחד משתמש בשטחים תחת עקומה חלקה; השני סופר הסתברויות דיסקרטיות. מי מתאים למי?
• לפני הקריאה, אמרו מה הופך ספירה לבינומית, ומה הדגם הרציף זקוק לו.

השיטה

• התפלגות בינומית דורשת n קבוע, ניסויים עצמאיים, שני תוצאות ו-p קבוע: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, עם E(X) = np ו-Var(X) = np(1 − p). הערך הצפוי הוא הממוצע המשוקלל בהסתברות.
• כמות רציפה עוקבת אחר עקומת צפיפות: ההסתברות היא שטח, ו-P(X = x) = 0 לכל ערך מדויק. ההתפלגות הנורמלית תקן בעזרת z = (x − μ)/σ לפני קריאת הסתברות זנב. דגם פואסון סופר אירועים בקצב קבוע, עם ממוצע השווה לשונות.
• התפלגות בינומית: ספירת ההצלחות ב-n ניסויים עצמאיים בעלי שני תוצאות עם הסתברות קבועה p; ערך צפוי: הממוצע המשוקלל בהסתברות של משתנה אקראי; התפלגות נורמלית: הדגם הסימטרי בצורת פעמון לכמויות רציפות, מוקנה על ידי z = (x − μ)/σ.

בדיקת עבודתכם

• בדקו את תנאי הבינומיות לפני השימוש בנוסחה: דגימה ללא החזרה הופכת את הניסויים לתלויים ומשנה את p, ולכן הדגם נכשל. לא כל ספירה היא בינומית.
• למשתנה רציף, לעולם אל תשאלו P(X = בדיוק 130): חשבו זנב או מרווח. ציינו את האירוע לפני החישוב, ושרטטו תחילה את האזור המוצלל.

מקרה מפורט

• Known: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 and Var(X) = np(1 − p) = 0.8. For a normal quantity with μ = 100, σ = 15, the value 130 has z = (130 − 100)/15 = 2, so it lies two standard deviations above the mean.

דוגמה:

עבור X ~ בינומית(5, 0.2), מצאו את P(X = 1) באמצעות אותו תהליך: בחרו מודל → נוסחה → הצבה. (תשובה: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

גבולות ומלכודות

• רגעי הבינומית מתקבלים רק כאשר ארבעת התנאים מתקיימים. מודל נורמלי דורש נתונים סימטריים בקירוב; תיקון רציפות חשוב כאשר ממשיכים קטינית דרך נורמלית.

אזהרה:

Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false: the model requires independent trials with constant p — sampling without replacement or a changing success rate breaks it, so the formula would report a false precision.

מפת מושגים:

חלוקות סטטיסטיות: בינומיאלית לספירות עצמאיות עם n קבוע (E = np, Var = np(1 − p)); נורמלית לגדלים רציפים באמצעות z = (x − μ)/σ; הסתברויות הן שטחים עבור מודלים רציחים ומונחים מדויקים עבור מודלים דיסקרטיים.