היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- בחר צורות שוות לפתוח, factored או vertex עבור משימה
- פתרון משוואות ליניאריות ופולינומיות באמצעות מבנה
- קבע אזורים של אי-שוויון ריבועי מתוך סימנים ולא רק שורשים
דרישות מקדימות: איסוף איברים דומים; הצבת זוגות מסודרים; חישוב עם סימנים.
הסבר ובחירת השיטה
תרגם קשרים לבטאות לפני שינוי צורה. עמלה קבועה בתוספת תשלום ליחידה היא מודל ליניארי אפיני, בעוד שמכפלת ממדים יכולה ליצור ריבועי. צורה שווה צריכה לשמר את הביטוי המקורי בתחום ההגדרה שלו. פקקו איברים משותפים והכירו זהויות לפני פתיחת כל מכפלה.
משוואה ליניארית עשויה להיות לה פתרון אחד, אף פתרון או אינסוף פתרונות לאחר פישוט; יש לבדוק מקדמים אפס לפני חלוקה. כפילה או חילוק של אי-שוויון במספר שלילי הופכים את כיוונו. מכפלת פולינום שווה לאפס כאשר לפחות גורם אחד הוא אפס. יש לשמור על כל הגורמים, כולל x שהוצא לגורם, כדי למנוע איבוד שורש אפס.
הצורה הפקטוריאלי של ריבועי חושף שורשים והצורהVertex חושפת קיצון. עבור אי-שוויון, סדר את השורשים הממשיים ובדוק את הסימן בכל מרווח. כלול גבולות רק עבור ≤ או ≥. פרבולה הפונה כלפי מעלה שלילית בין שני שורשים ממשיים נפרדים וחיובית מחוץ להם.
השתמש בהצבה לביטוי המקורי כדי לבדוק ערכים מועמדים. שאלה על מקדמים מפותחים עשויה לדורש שילוב של כמה תרומות לאותו חזקה. פולינómial מעלה שלישית אינה חייבת להשתמש בנוסחה כללית לקובית: גורם משותף או שורש ידוע יכול להפוך אותו לגורמים פשוטים יותר. בחר את השיטה על בסיס המבנה.
זהות מתקיימת לכל קלט מותר. התחילו ב$ax+b=cx+d$. איסוף איברים: $(a-c)x=d-b$. בדקו את $a-c$ לפני החלוקה. אם $a=c$ ו-$b=d$, כל קלט ממשי מתאים. אם רק $a=c$, אין קלט שמתאים. במקרה אחר, $x=(d-b)/(a-c)$ נותן פתרון אחד.
דוגמה פתורה. x²-5x+6=(x-2)(x-3), ולכן x²-5x+6<0 נותן 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), והופך לשורשים -2,0,2. הביטוי 2(x-3)²+5 יש מינימום 5 ב-x=3. ב-(2x+1)(x-4), המקדם של x הוא -8+1=-7.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
פתרו $x^3-9x=0$ ו-$(x+2)(x-5)\ge0$. הסברו מדוע חלוקת המשוואה הקובית ב-$x$ בהתחלה מאבדת פתרון.
סיכום. גורם $x(x-3)(x+3)=0$, ונקבל $-3,0,3$. חלוקה ב$x$ ללא זהירות מסירה את השורש המותר. עבור האי-שוויון, השורשים הם $-2,5$; המכפלה היא אי-שלילית מחוץ לשורשים, כולל הקצוות, ולכן $x\le-2$ או $x\ge5$.
תרגול 2
כתבו את $2x^2-12x+23$ בצורת הקודקוד והצהירו את המינימום שלו. מצאו את המקדם של $x$ ב-$(2x-3)(x+4)$.
סיכום. השלמת ריבוע נותנת $2(x-3)^2+5$, עם מינימום 5 ב$x=3$. פתיחת המכפלה היא $2x^2+5x-12$, ולכן המקדם הוא 5.
תרגול 3
מדפסת גובהת 25 יואן להכנת עבודה ו-0.40 יואן לעמודה. כתבו את העלות הכוללת עבור $n$ עמודות ופתרו את אי-שוויון התקציב של 65 יואן עבור עמודות שלמות. השוו זאת לביטוי השטח של מלבן עם צלעות $x$ ו-$x+3$ מטרים.
סיכום. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. תקציב $25+0.40n\le65$ נותן $0\le n\le100$, עם $n$ שלם. העלות היא ליניארית אפינית ב$n$. למרובע יש $A=x(x+3)=x^2+3x$ מטר רבוע עבור אורכים מספריים במטרים ועבור $x>0$; כפילה של שני אורכים משתנים יוצרת ריבועית, ולא תשלום קבוע פלוס קצבה.
מגבלות ושימוש עתידי
אל תשמיטו גורם שהוסרה, כלולו גבול אי-שוויון מחמיר, או דייקנו קואורדינטת x של קודקוד כאשר השאלה מבקשת את הערך המינימלי.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.