היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- להוסיף ולכפול וקטורים רכיב-לרכיב
- הכפלת מטריצה ומשולב עם מימד תואם
- לפרש כניסה ויחידות במודל כמותי
דרישות מוקדמות: זוגות מסודרים; פיתגורס; כפל וחיסור.
הסבר ובחירת השיטה
וקטור דו-ממדי מקלט תזוזה מסודרת או כמות זוגית אחרת. יש להוסיף רכיבים תואמים ולהכפיל את שניהם בקבוע. הוקטור מ-A ל-B הוא B-A, לא A-B. הגודל שלו הוא √(u²+v²) במישור קואורדינטות אוקלידי; כיוון וגודל הם חלקי מידע שונים.
מטריסה מארגנת כניסה ל rows וע columns. יש להוסיף רק מטריסות באותו צורה, כניסה לפי כניסה. להכפלה, מספר העמודות במכפיל הראשון חייב להיות שווה למספר השורות במכפיל השני. מטריסה בגודל 2-על-3 כפולה משולב בגודל 3-על-1 מייצרת תוצאה בגודל 2-על-1: כל תוצאה היא מכפלת נקודת של שורה אחת עם המשולב.
סדר חשוב: כפל מטריצות הוא באופן כללי לא קומוטטיבי. אם A כפול B מוגדר, B כפול A עשוי להיות מוגדר או לייצר תוצאה שונה. עבור שורה המכילה כמות פריטים ועמודה המכילה מחיר יחיד באותו סדר פריטים, המכפלת הנקודה נותנת את העלות הכוללת. סדר פריטים שאינו תואם מייצר תשובה מספרית נקייה אך חסרת משמעות.
תווה כל רכיב ויחידה לפני החישוב. משולב תזוזה משתמש ביחידות מרחק, בעוד כניסה במטריסה עשויה להיות ספירה, עלות או קצב. לאחר ההכפלה, פרשן את יחידות התוצאה. בעיות ACT עשויות לספק הגדרת פעולה; עקוב אחרי ההגדרה זו במקום להניח שסמל זר תמיד משמעו כפל רגיל.
מטריצה משתמשת בשורות ועמודות מסומנות. שורת כמות $(2,3)$ ועמודת מחיר $(4,5)^T$ נותנת עלות $2(4)+3(5)=23$. המידות הפנימיות חייבות להתאים לפני שקיים מכפלת מטריצות. ווקטור הזזה מ-$A$ ל-$B$ הוא $B-A$.
דוגמה מפורטת. סכום תזוזות (3,4) ו(-1,2) הוא (2,6); לראשונה יש גודל 5. שתי שורות קניות (2,1) ו(1,3), עם מחירים (4,5), נותנות עלות ($2\times4+1\times5=13$) ו($1\times4+3\times5=19$). המטריסה [[2,1],[1,3]] כפולה עמודה [4,5] היא עמודה [13,19]. הכניסות מייצגות ספירה כפול מחיר ליחידה.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
נקודות A ו-B במטרים הן $(1,-2)$ ו-$(7,6)$. מצא את התזוזה מ-A ל-B ואת הגודל שלה. לאחר מכן, מצא את הנקודה הסופית לאחר הוספת התזוזה $(-3,2)$ מטרים ל-B.
הסבר. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. גודל $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. נקודת סיום חדשה $B+(-3,2)=(4,8)$ מטרים. הכיוון לא חייב להיות הפוך.
תרגול 2
לחנות יש שתי הזמנות עם שורות כמות $(3,2)$ ו-$(1,4)$ לעטים ומחברות. המחירים הם 2 ו-7 יואן בהתאמה. תן את מכפלת המטריצה ואת עלות שתי ההזמנות.
הסבר. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ יואן לפריט. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ יואן. סדר הפריטים חייב להתאים לסדר המחירים.
תרגול 3
A היא בגודל 2-על-3 ו-B היא בגודל 3-על-4. ציין את גודל AB האם BA מוגדר.
הסבר. ל-AB יש מימד פנימי תואם 3 ומימדים חיצוניים 2 פי 4. ל-BA יהיה נדרש 4=2, ולכן היא מוגדרת. הפיכת מכפלה אינה חסרת השפעה.
מגבלות ושימוש עתידי
שמור על צורת שורה/עמודה ועל סדר פריטים במפורש. גודל של וקטור אינו סכום הרכיבים שלו.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.