היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- להבחין בין מספרים רציונליים לא-רציונליים מבלי להניח שהסכמם שומרים על סוגם
- להחיל חוקי מעריכים ושורשים בתחום המותר
- לחשב עם מספרים מרוכבים באמצעות i²=-1 ומספרים מרוכבים מצופים
תנאי קבלה: חוק הפצילה; שורשים ראשיים; $i^2=-1$.
הסבר ובחירת השיטה
מספר רציונלי הוא יחס של מספרים שלמים עם מכנה אי-אפס; עשרוני סוף-טווח או מחזורי הם רציונליים. מספר אמיתי אי-רציונלי אינו יחס כזה. סגירות של מספרים רציונליים תחת חיבור וכפל אינה מעידה על סגירות של מספרים אי-רציונליים. שורשים מדויקים עשויים לפשט: √18=3√2 נותר אי-רציונלי, בעוד ש-√16=4 הוא רציונלי.
עבור בסיס חיובי, a^(m/n) משלב שורש n-י וערך שלם. מעריך שלילי יוצר הפוך ומדורש בסיס אי-אפס. יש להבחין בין √(x²)=|x| לבין x. כאשר מעורב שורש זוגי, יש לכבד את התחום האמיתי והשורש הראשי האי-שלילי. יש להפיץ מעריכים על מכפלות, ולא על סכומים: (a+b)² כולל את האיבר המערבב.
חישוב מרוכב משתמש ב-i²=-1. יש להוסיף חלקים אמיתיים וחלקים דמיוניים בנפרד, ולכפול באמצעות פיזור לפני צמצום i². כדי לחלק ב-a+bi, יש להכפיל את המונה והמכנה ב-a-bi; המכנה resulting הוא a²+b² כאשר המקורי אינו אפס. שורשים מרוכבים מאפשרים פתרונות למשוואות כמו x²=-9 שאין להם שורשים אמיתיים.
ACT משופר עדין כולנו נושאים מתקדמים נבחרים, ואין מצורף טופס נוסחאות. יש לבנות היכרות עם החוקים המגדירים במקום לנחש מתצוגת מחשבון. יש לבדוק האם השאלה דורשת פתרונות אמיתיים או מרוכבים, שורש מדויק או קירוב עשרוני. הבדיקות המקומיות כאן הן פורמטיביות, ולא טופס ניקוד רשמי.
צירוף מרוכב משנה את סימן המספר המדומה. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ עבור ממשי $a,b$. לכן $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. המכנה אינו אפס; יש להבחין בערך מדויק מערכו העשרוני המקרבת אותו.
דוגמה מוצגת. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. עבור (1+i)/(1-i), כפל ב-1+i נותן (1+i)²/2=2i/2=i. הפתרונות של x²+9=0 הם ±3i; אף אחד מהם אינו ממשי.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
חשב $(3-2i)/(1+i)$ בצורת $a+bi$.
הסבר. כפול את שני החלקים ב-$1-i$. המונה הוא $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. המכנה הוא 2. התשובה היא $1/2-(5/2)i$. הכפלה חוזרת ב-$1+i$ מחזירה ל-$3-2i$.
תרגול 2
חשב $32^{2/5}$ ו-$\sqrt{(-7)^2}$. פתר $z^2+16=0$ במספרים מרוכבים.
Reasoning. The fifth root of 32 is 2, so $32^{2/5}=2^2=4$. The principal square root is $|-7|=7$. For the equation, $z^2=-16$ gives $z=4i,-4i$, both nonreal.
תרגול 3
תן דוגמה אחת שמראה כי מכפלת שני מספרים אי-רציונליים יכולה להיות רציונלית, ואחת שבה היא אי-רציונלית.
הסבר. $\sqrt2\sqrt2=2$ הוא מספר רציונלי. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ הוא מספר אי-רציונלי. לא סגירות ולא אי-סגירות לכל מכפלות נובעות מתווית אי-רציונל בלבד.
תרגול 4
מיין את $\sqrt{50}$ ו-$\sqrt{50}\sqrt2$ כרציונליים או אי-רציונליים. חשב $32^{2/5}$ ו-$2^{-3}$. השתמש ב-$\sqrt2$ ו-$-\sqrt2$ כדי לבדוק האם סכום של מספרים אי-רציונליים חייב להיות אי-רציונלי.
הסבר. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ הוא אי-רציונלי, בעוד ש-$\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ הוא רציונלי. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ ו-$2^{-3}=1/2^3=1/8$. סכום שני המספרים האי-רציונליים הוא אפס, שהוא רציונלי; מספרים אי-רציונליים אינם סגורים תחת חיבור. מכפלות אלו עם שורש זוגי משתמשות בשורשים ממשיים לא שליליים.
מגבלות ושימוש עתידי
אל תסקיר כי שני איברים אי-רציונליים חייבים להסכום לסכום אי-רציונלי, לחלק ריבוע על חיבור, או להחליף √(x²) ב-x כאשר x יכול להיות שלילי.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.