היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- זיהוי ופרשנות של צורות סטנדרטיות לעיגול, אליפסה, פרבולה והיפרבולה
- שימוש בקשרי זוויות, מגעים וחוצות של עיגול בתנאים הרלוונטיים
- חישוב שטח, שטח פני או נפח עם הממד והיחידות הנכונים
דרישות מקדימות: הושלמת ריבועים; רדיוסים חצי-צירים מריבועים; גיאומטריה מעגלית; יחידות נפח.
הסבר ובחירת השיטה
A circle has form (x-h)²+(y-k)²=r². An ellipse uses two positive squared terms divided by squared semiaxes; a hyperbola has a difference of such terms. A parabola has one squared coordinate in its standard aligned form. In y²=4px, the vertex is the origin and the focus is (p,0); read the sign and axis before interpreting direction.
For (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, centre is (1,-2), horizontal semiaxis 3 and vertical semiaxis 2. Complete the square when the centre is hidden in an expanded circle. An equation’s coefficients and signs distinguish conic types; a rough sketch does not supply missing algebraic information.
משיק מאונך לרדיוס בנקודת המגע. זווית מושרעת היא מחצית הזווית המרכזית החוצה את אותו קשת. עבור שתי מיתרים היוצאים מאותו נקודה חיצונית, מכפלת החלק החיצוני במיתר כולו זהה לשתי המיתרים; ריבוע אורך המשיק שווה למכפלה זו. האורך הכולל כולל גם את החלק החיצוני, ולכן אין להכפיל רק את החלק החיצוני והפנימי ביניהם.
הפרד בין מידות גבול (אורכי עובי) לבין מידות מרחב (נפח). היקף מעגל הוא 2πr ושטחו πr²; נפח צילינדר הוא πr²h; נפח חרוט הוא πr²h/3; נפח כדור הוא 4πr³/3. שטח פנים הוא סכום הפנים החשופות. אם כל האורכים המתאימים משתנים פי k, השטח משתנה פי k² והנפח משתנה פי k³; שינוי של מימד אחד בלבד דורש שימוש בנוסחה המקורית.
An ellipse $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ has centre $(h,k)$. חצאי הצירים הם שורשים של המכנים החיוביים. A parabola $y^2=4px$ has focus $(p,0)$ and directrix $x=-p$. הבדל בין משוואות אלו לבין היפרבולה בעלת הפרש ריבועים.
דוגמה פתורה. האליפסה (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 בעלת קצוות אופקיים ב(-2,-2) וב(4,-2). y²=8x כוללת p=2 ומוקד ב(2,0). חוצות ישר עם אורכי חיצוני/כולל 3/12 ו4/9 שניהם מכילים מכפלה 36, ולכן משיק מאותו נקודה יהיה באורך 6. קונוס ברדיוס 3 וגובה 8 נפחו 24π.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
עבור $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, ציין מרכז, רדיוסי חצי-ציר אופקיים ואנכיים, וארבע נקודות קצה על הצירים. עבור $y^2=-12x$, ציין קודקוד ומוקד.
Reasoning. Centre is $(-2,1)$, semiaxes 5 and 3, endpoints $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. In the parabola, $4p=-12$, so $p=-3$; vertex $(0,0)$, focus $(-3,0)$.
תרגול 2
מנקודה חיצונית אחת אורך המשיק הוא 6 ס"מ. לאחד המיתרים החלק החיצוני הוא 4 ס"מ. מצא את האורך הכולל והפנימי שלו.
נימוק. השתמש בקשר משיק–חוצה ישר $t^2=ew$. סדר מחדש את $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. האורך הפנימי הוא $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. המכפלה משתמשת באורך הכולל, לא רק בפנימי.
תרגול 3
A cylindrical container has radius 3 cm and height 8 cm. Find its volume and total closed surface area. What happens to each if every length doubles?
נימוק. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. הכפלת כל האורכים מכפילה את הנפח פי 8 ואת השטח פי 4.
תרגול 4
סווג את $x^2/16-y^2/9=1$ ואת $x^2+y^2=16$. מצא את היקף המעגל ואת שטחו. עבור שני מיתרים היוצאים מאותה נקודה חיצונית, לאחד החלק החיצוני/כולל הוא 3/12 ס"מ, ולשני האחר החלק החיצוני הוא 4 ס"מ: מצא את האורך הכולל והפנימי שלו.
Reasoning. The difference of squared terms defines a hyperbola centred at the origin. The sum with equal coefficients defines a circle of radius 4. Its circumference is $C=2\pi r=8\pi$ and area $A=\pi r^2=16\pi$ in coordinate length and square-length units respectively. Secant products match: $e_1w_1=e_2w_2$. Thus $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; inside length is $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Outside times inside would apply the wrong relation.
מגבלות ושימוש עתידי
קח שורשים ריבועיים עבור רדיוסים והצירים החצי-אלפסיים; השתמש באורכי המחצה המלאים ובמחלקות נפח.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.