היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- שינוי קואורדינטות תוך הבחנה בין תנועות קשיחות להרחבה
- שימוש במרחק, באמצע ובשיפוע כעדות גיאומטריות
- שימוש בקונגרואנטיות תקפות ויחסים בין זוויות במקום במראה הדיאגרמה
דרישות מקדימות: הפרשי קואורדינטות; קונגרואנטיות משולשים; זוויות על קווים מקבילים.
הסבר ובחירת השיטה
A translation adds a displacement to each point; reflection across the x-axis sends (x,y) to (x,-y). A 90° counterclockwise rotation around the origin sends (x,y) to (-y,x). These rigid motions preserve lengths and angles. Dilation by factor k about the origin scales coordinates and lengths by k when k is positive, preserving shape but generally changing size.
Distance between two points follows the Pythagorean theorem: square the coordinate differences, add and take the root. The midpoint averages each coordinate. Slope compares vertical and horizontal change; perpendicular nonvertical slopes have product -1. Vertical and horizontal lines require separate treatment rather than division by zero.
A geometric argument starts from stated or marked conditions. Vertical angles are equal; parallel lines give corresponding and alternate-angle relationships. Triangle angles sum to 180°. SSS, SAS and ASA/AAS can establish congruence with proper correspondence, while two equal angles establish similarity but not equal size.
הסבר בנייה משתמש בסרגן זווית למעבר אורכים ולציור קשתים ברדיוס שווה. חיתוך קשתים בעל מרחקים שווים יכול למקם מאונך אמצעי; זוהי אינה אמצע משוער מדיאגרמה. עדות קואורדינטות יכולה לתמוך בהוכחה, אך תמונה שנבחרה במיוחד אינה מקימה statement כללי עבור כל משולש.
תנועות קשיחות שומרות על אורכים וזוויות. A 90-degree anticlockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$ about the origin. המרחק הוא $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. זוויות שוות קובעות דמיון, אך חפיפה קובעת גם גודל.
דוגמה מופת. נקודה (2,-1) מוזזת ב-(3,4) ומוצאת את עצמה בנקודה (5,3); לאחר סיבוב של 90° נגד כיוון השעון סביב המקור, היא מגיעה לנקודה (1,2). בין נקודות (1,2) לנקודה (7,10), המרחק הוא √(6²+8²)=10 והאמצע הוא (4,6). לשני משולשים עם אורכי צלעות תואמים 3,4,5 יש חפיפה לפי SSS; משולשים עם זוויות שוות עשויים להשתנות רק בקנה מידה.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
סובבו A = $(2,-3)$ ב-90° נגד כיוון השעון סביב המקור, ולאחר מכן הזיזו ב-($(4,1)$). הפכו את הסדר והשוו את הקצוות.
הסבר. סובבים תחילה לנקודה $(3,2)$, ואז מזיזים לנקודה $(7,3)$. מזיזים תחילה לנקודה $(6,-2)$, ואז מסובבים לנקודה $(2,6)$. הקצוות שונים, ולכן סדר ההפכאות משנה.
תרגול 2
A = $(-1,2)$ ו-B = $(5,10)$ הם קצוות של קטע. מצאו את אורכו, את האמצע ואת משוואת האנך למחצה שלו.
הסבר. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. נקודת האמצע היא $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. שיפוע הקטע הוא $8/6=4/3$, ולכן השיפוע האנכי אליו הוא $-3/4$. האנך למחצה הוא $y-6=-(3/4)(x-2)$.
תרגול 3
Two triangles have angles 40°,60°,80°. One has longest side 9 cm; the other 15 cm. State what is proved and the ratio of their areas.
הסבר. המשולשים דומים בזכות זוויות שוות, אך אינם חופפים כי הצלעות הארוכות התואמות שונות. יחס האורכים הוא $15/9=5/3$ ויחס השטחים הגדול-ל-קטן הוא $25/9$.
תרגול 4
תיארו בניית מחוגה וסרגל לאנך למחצה של קטע AB. נתנו הסבר תקף לכל נקודה שנבנתה, והבדילו זאת ממדידה באיור אחד. luego הסבירו מה SSS מוכיח עבור משולשים עם אורכי צלעות תואמים של 3,4,5 ס"מ.
הסבר. השתמשו באותו רדיוס מחוגה, גדול מחצי AB, כדי לשרטט קשתות שמרכזיהן A ו-B הנפגשות בנקודות P ו-Q בצדדים הנגדיים. שרטטו את PQ. PA=PB ו-QA=QB בגלל רדיוסים שווים. לכן גם P וגם Q נמצאים על המיקום הגיאומטרי של נקודות השוות מרחק מ-A ו-B; PQ הוא האנך למחצה. לחלופין, ניתן להשתמש במשולשים חופפים ובמיתר המשותף כדי להוכיח אנכיות וחלוקה לשווים. קריאה בסרגל בתמונה אחת אינה מוכיחה את המיקום הגיאומטרי הכללי. SSS מוכיח שהשני משולסים החופפים הנ
תרגול 5
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
מגבלות ושימוש עתידי
עקוב אחרי המרכז והסדר הנדרשים של ההמרות. אל תשתמש בזוג מקביל או מאונך ויזואלי כתנאי נתון.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.