היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- פרש את משרעת התנודה, תקופה והזזה אנכית בחוק סינוסידי
- השתמשו בסימני מעגל היחידה ובזהויות בסיסיות
- בחרו יחס סינוס, קוסינוס או שטח למשולש כללי
ידע מוקדם: רדיאנים; יחסים במשולש ישר זווית; נקודות על מעגל היחידה.
הסבר ובחירת השיטה
למשולש ישר זווית, סינוס הוא נגד/יתרה, קוסינוס סמוך/יתרה ומינוס נגד/סמוך ביחס לזווית נבחרת. משולשים דומים מסבירים מדוע יחסים אלו תלויים בזווית ולא בגודל. במעגל היחידה, הקואורדינטות הן (cos θ,sin θ), ומרחיבות את היחסים לשאר הרבעונים עם הסימנים המתאימים.
sin²θ+cos²θ=1 ו-tan θ=sin θ/cos θ כאשר cos θ≠0. עבור y=A sin(Bx)+D עם x ברדיאנים, האמפליטודה היא |A|, התקופה היא 2π/|B| והקו האמצעי הוא D. ערך A שלילי מחזיר את הגל; D מזיז אותו אנכית. בדקו האם הקלט הוא ברדיאנים או בדרגות לפני שימוש בטווח גרפי.
למשולש כללי, חוק הקוסינוס c²=a²+b²-2ab cos C משתמש בזווית הכלולה C בין a ל-b. חוק הסינוס مقارnt כל צל עם הסינוס של הזווית המולת. שטח הוא ab sin C/2 כאשר ידועים שני צלעים והזווית הכלולה שלהם. בחר בקשר המתאים למידע הסופק.
אל תסיקו קיום זווית ישרה מהתרשים. משוואה המבוססת על סינוס עשויה לאפשר יותר מזווית אחת בטווח המותר; שמרו על מידע הרבעון ועל כל תנאי סכום המשולש. שמרו על הבדל בין אמפליטודה למרחק כולל בין שיא לקצה תחתון, שהוא פעמיים האמפליטודה.
משרעת היא חצי מהמרחק בין שיא לכיפה. ב-$y=A\sin(Bx)+D$, התקופה היא $|A|$; תקופה ברדיאנים היא $2\pi/|B|$. עבור משולש שאינו ישר זווית, התאם צלעות ידועות וזווית כלולה לפני בחירת חוק הקוסינוסים. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
דוגמה מפורטת. y=3 sin(2x)+1 יש משרעת תנודה 3, תקופה π וערכים בין -2 ל4. משולש עם צלעים 5 ו7 סביב זווית 60° יש צל שלישי $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ ושטח 35√3/4. ב-150°, הסינוס הוא 1/2 והקוסינוס -√3/2.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
For radian input $y=-4\sin(2x)+3$, give amplitude, period, range and value at $x=\pi/4$.
הסבר. המשרעת היא 4, התקופה היא $2\pi/2=\pi$, הטווח הוא $-1\le y\le7$. בנקודה $x=\pi/4$, מתקיים $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. המקדם השלילי משקף את גל הפונקציה; הוא אינו הופך את המשרעת לשלילית.
תרגול 2
למשולש יש צלעות באורך 6 ס"מ ו10 ס"מ הסוגרות זווית של 60°. מצאו את הצלע השלישית ואת השטח מבלי להניח כי המשולש ישר-זווית.
הסבר. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, לכן $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
תרגול 3
מצא כל זווית ב$0^\circ\le\theta<360^\circ$ עם $\sin\theta=1/2$. עבור כל אחת, תן קוסינוס וטנגנס.
הסבר. הזוויות הן 30 ו150 מעלות. הקוסינוסים הם $\sqrt3/2$ ו$-\sqrt3/2$; הטנגנסים הם $1/\sqrt3$ ו$-1/\sqrt3$. הסינוס חיובי ברבעונים I ו-II, ולכן פתרון חד-עוצרי יחיד יהיה חסר.
תרגול 4
A right triangle has legs 9 and 12 cm. Find the hypotenuse and sine/cosine of the angle opposite 9 cm. A different triangle has angles 30° and 45° and side 8 cm opposite 30°. Find the side opposite 45°, explaining why the sine rule fits.
Reasoning. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Thus $\sin\theta=9/15=3/5$ and $\cos\theta=12/15=4/5$; their squares sum to 1. In the second triangle a known opposite side-angle pair permits $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Hence $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. This triangle is not assumed right-angled; its third angle is 105°.
מגבלות ושימוש עתידי
צין יחידות זווית וזיהוי הזווית הכלולה. הערך הגבוה ביותר הוא קו האמצעי בפלוס המשרעת, ולא המשרעת לבדה.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.