היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- הערכה והמרה בין חוקי פונקציות, טבלאות וגרפים
- מעקב אחרי סדר הקלט ותחום ההגדרה דרך הרכבה
- הגבלת תחום ההגדרה של הפונקציה עד שתהיה חד-חד-ערכית, ולאחר מכן מציאת ההפוכה שלה
תנאי קדם: סימון פונקציה; הצבה; פתרון משוואות.
הסבר ובחירת השיטה
פונקציה נותנת פלט אחד לכל כניסה מותרת. גרף שעובר בקו אנכי בשתי נקודות פלט שונות אינו פונקציה של x. תחום ההגדרה מפרט כניסות מותרות; טווח הפלט מפרט פלטות שהושגו. המרת טבלאה לחוק היא רק כאשר הקשר נתמך, ויש לפרש את התפקיד של כל משתנה.
ב-f(g(x)), הפונקציה הפנימית g פועלת ראשונה והפלט שלה חייב להיות בתחום ההגדרה של f. עבור f(u)=1/(u-1) ו-g(x)=x²+1, ההרכבה נותנת 1/x² ויוצאת x=0. בדיקת תחום ההגדרה שייכת גם לפונקציות המקוריות וגם לתוצאה המצוטצת.
שינוי בפלט f(x)+k מזיז אנכית ב-k; f(x-h) מזיז ימינה ב-h. מכפיל מחוץ משנה קנה מידה של הפלט, בעוד שמכפיל פנימי משנה את הקצב שבו הקלט מגיע לנקודות ישנות. זיהוי נקודה ידועה לאישור השינוי הוא עדיף מהנחת כיוון מתוך סימן.
הפוכה מחליפה קלט ופלט ודורשת קשר חד-חד-חד בתחום הנבחר. פתר y=f(x) עבור x, ולאחר מכן החלף שמות. פרבולה חייבת להימנע לרוב לצד אחד מהקודקוד. הפונקציה ההפוכה f⁻¹ אינה הרציף 1/f. בדוק הרכבה בשני הכיוונים בתחום המותר.
הרכבה מפעילה את הכלל הפנימי קודם. אם $f(u)=1/(u-2)$ ו$g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, עם $x\ne0$. הופך הופך קלט ותוצאה בטווח חד-ל-חד. הגבל $h(x)=(x-1)^2$ ל$x\ge1$ לפני מציאת $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
דוגמה פתורה. f(x)=2x+3 ו-g(x)=x² נותנים f(g(x))=2x²+3, אך g(f(x))=(2x+3)². עבור h(x)=(x-2)² מוגבל ל-x≥2, ההופך הוא 2+√x עם תחום הגדרה x≥0. הזזה אנכית של h ב-4 נותנת קודקוד (2,4); הפרבולה ללא הגבלה לא תהיה בעלת הופך חד-ערכי.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
נתון $f(u)=1/(u-3)$ ו$g(x)=x^2+3$. מצאו $f(g(x))$ עם תחום. מצאו $g(f(4))$ והסבירו מדוע הרכבות אלו שונות.
סיבה. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, למעט $x=0$. עבור הסדר השני, $f(4)=1$ ו-$g(1)=4$. סדר ההרכבה משנה גם את הפעולה וגם את תחום ההגדרה האפשרי; $f(g(4))=1/16$ שונה.
תרגול 2
הגבלו $h(x)=(x+2)^2$ ל$x\le-2$. מצאו את ההופכת שלה, כולל תחום וטווח. הסבירו מדוע ענף השורש החיובי שגוי.
סיבה. פתור $y=(x+2)^2$ עם $x+2\le0$ כדי לקבל $x=-2-\sqrt y$. לכן $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, תחום הגדרה $x\ge0$, טווח $y\le-2$. ענף החיוב חוזר ערכים מחוץ לתחום ההגדרה המקורי שנבחר.
תרגול 3
גרף $f(x)=x^2$ שונה ל$g(x)=3f(x+4)-2$. מצאו את הקודקוד והטווח, ובדקו נקודה אחת שתמונה.
סיבה. $g(x)=3(x+4)^2-2$ יש קודקוד $(-4,-2)$ וטווח $y\ge-2$. הנקודה הישנה $(1,1)$ מתמפה ל-$(-3,1)$ כי $3(1)-2=1$; הצבה מאמת $g(-3)=1$.
מגבלות ושימוש עתידי
שמרו על סדר ההרכבה ועל ענף ההפיכה המוגבל. הסופרסקריפט -1 בסימון פונקציות אינו מסמל הפך.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.