Continuous distributions and density functions · Distributions continues et fonctions de densité
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| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | densité de probabilité |
Is a height the same as a probability?
- A waiting time can take any value in an interval. Its probability comes from area, not the graph's height at one instant.
- This lesson studies probability density 概率密度: A nonnegative function whose integral over an interval gives its probability.
La hauteur est-elle équivalente à une probabilité ?
- Une durée d'attente peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle. Sa probabilité provient de l'aire, pas de la hauteur du graphique à un instant donné.
- Cette leçon étudie la densité de probabilité : une fonction non négative dont l'intégrale sur un intervalle donne sa probabilité.
Choose the mathematical structure
- A density f must be nonnegative and integrate to 1 over its support. The cumulative distribution F(x) is the integral up to x. For a continuous variable P(X=x)=0 and E(X) is the integral of xf(x).
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Une densité f doit être non négative et s'intégrer à 1 sur son support. La fonction de répartition F(x) est l'intégrale jusqu'à x. Pour une variable continue, P(X=x)=0 et E(X) est l'intégrale de xf(x).
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines probability density? · Quelle description définit correctement la densité de probabilité ?
A nonnegative function whose integral over an interval gives its probability. · Une fonction non négative dont l'intégrale sur un intervalle donne sa probabilité.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Let f(x)=kx on 0≤x≤2 and zero elsewhere. Normalisation gives integral_0^2 kx dx=2k=1, so k=1/2. Then P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 and E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Soit f(x)=kx sur 0≤x≤2 et nul ailleurs. La normalisation donne integral_0^2 kx dx=2k=1, donc k=1/2. Ensuite, P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 et E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3.
Continuous distributions and density functions · Distributions continues et fonctions de densité
A density f must be nonnegative and integrate to 1 over its support · Une densité f doit être non négative et s'intégrer à 1 sur son support.
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
Find k when f(x)=kx on [0,2] is a density. · Trouver k lorsque f(x)=kx sur [0,2] est une densité.
Total density area k[x²/2] from 0 to 2=2k=1, so k=1/2. · Aire totale de la densité k[x²/2] de 0 à 2 = 2k = 1, donc k = 1/2.
Test a tempting shortcut
- Density can exceed 1 without being invalid; total area must equal 1. A cumulative distribution cannot decrease. Include the zero-density region outside the support when defining a complete model.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A continuous variable has P(X=x) equal to the density height f(x). This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- La densité peut dépasser 1 sans être invalide ; l'aire totale doit être égale à 1. Une fonction de répartition ne peut pas diminuer. Incluez la région à densité nulle hors du support lors de la définition d'un modèle complet.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Une variable continue a P(X=x) égal à la hauteur de la densité f(x). Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
For that density, find P(X≤1). · Pour cette densité, trouver P(X ≤ 1).
Probability=integral x/2 from 0 to 1=[x²/4]=1/4. · Probabilité = intégrale x/2 de 0 à 1 = [x²/4] = 1/4.
A continuous variable has P(X=x) equal to the density height f(x). · Une variable continue a P(X=x) égal à la hauteur de densité f(x).
Density can exceed 1 without being invalid; total area must equal 1. A cumulative distribution cannot decrease. Include the zero-density region outside the support when defining a complete model. · La densité peut excéder 1 sans être invalide ; l'aire totale doit être égale à 1. Une fonction de répartition ne peut pas diminuer. Incluez la région de densité nulle hors du support lors de la définition d'un modèle complet.
Interpret a new situation
- For a uniform distribution, density is reciprocal interval length. Find medians or percentiles using the cumulative probability, and use a support-aware integral for moments.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Pour une distribution uniforme, la densité est l'inverse de la longueur de l'intervalle. Trouvez les médianes ou les percentiles en utilisant la probabilité cumulative, et utilisez une intégrale adaptée au support pour les moments.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For that density, find E(X). · Pour cette densité, trouver E(X).
E(X)=integral x²/2 from 0 to 2=[x³/6]=4/3. · E(X) = intégrale x²/2 de 0 à 2 = [x³/6] = 4/3.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- edexcel IAL further mathematics; official unit S2. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A nonnegative function whose integral over an interval gives its probability. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- edexcel IAL mathématiques supplémentaires ; unité officielle S2. L'enrichissement des autres unités est identifié dans l'examen du programme ; ce n'est pas une exigence supplémentaire de paiement.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Une fonction non négative dont l'intégrale sur un intervalle donne sa probabilité. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.