A Confidence Interval for the Slope · Un Intervalle de Confiance pour la Pente
The LINER conditions
- Inference about a slope needs five conditions — remember LINER:
- Linear (the true relationship is linear) · Independent observations.
- Normal (responses vary normally around the line) · Equal SD (constant scatter across $x$).
- Random (data from a random sample or experiment). Residual plots help check L, N, E.
Les conditions LINER
- L'inférence sur une pente nécessite cinq conditions — retenez LINER :
- Linéarité (la vraie relation est linéaire) · Indépendance des observations.
- Normalité (les réponses varient normalement autour de la ligne) · Egale SD (dispersion constante à travers $x$).
- Randomisation (données provenant d'un échantillon ou d'une expérience aléatoires). Les graphiques de résidus aident à vérifier L, N, E.
Read the computer output
- Slope inference almost always starts from computer output.
- Find the row for the explanatory variable: its estimate is the slope $b$.
- The next column is the standard error $SE_b$.
- Output also reports a $t$ statistic and p-value — but first we build an interval.
Lire la sortie ordinateur
- L'inférence sur la pente commence presque toujours par une sortie ordinateur.
- Trouvez la ligne pour la variable explicative : son estimation est la pente $b$.
- La colonne suivante est l'erreur-type $SE_b$.
- La sortie rapporte aussi une statistique $t$ et une valeur p — mais nous construisons d'abord un intervalle.
Build the t-interval
- The slope interval is estimate $\pm$ margin of error:
-
$$b \pm t^{*}\, SE_b$$
- Use the $t$-distribution with $df = n - 2$ (two estimated: slope and intercept).
- $t^{*}$ comes from that $df$ at your confidence level.
Construire l'intervalle t
- L'intervalle de pente est estimate $\pm$ marge d'erreur :
-
$$b \pm t^{*}\, SE_b$$
- Utilisez la distribution $t$ avec $df = n - 2$ (deux estimés : pente et ordonnée à l'origine).
- $t^{*}$ provient de cette $df$ à votre niveau de confiance.
Interpret in context
- "We're $95\%$ confident the true slope $\beta$ is between the endpoints."
- Say what the slope means: the predicted change in $y$ per one-unit increase in $x$.
- Name the real variables and units.
- The interval is a range of plausible values for $\beta$.
Interpréter dans le contexte
- "Nous sommes $95\%$ confiants que la vraie pente $\beta$ se situe entre les bornes."
- Expliquez ce que signifie la pente : le changement prédit dans $y$ pour une augmentation d'une unité de $x$.
- Nommez les variables réelles et les unités.
- L'intervalle est une plage de valeurs plausibles pour $\beta$.
Slope inference uses $df = n - 2$, not $n - 1$. Two parameters are estimated (slope and intercept), so you lose two degrees of freedom. Read $b$ and $SE_b$ straight from the output — don't recompute them — and remember the interval is $b \pm t^{*}SE_b$, the same estimate-$\pm$-margin form as every other $t$-interval.
L'inférence sur la pente utilise $df = n - 2$, pas $n - 1$. Deux paramètres sont estimés (pente et ordonnée à l'origine), donc vous perdez deux degrés de liberté. Lisez $b$ et $SE_b$ directement dans le tableau de sortie — ne les recalculiez pas — et rappelez-vous que l'intervalle est $b \pm t^{*}SE_b$, la même forme estimate-$\pm$-marge que tout autre intervalle $t$.
Output: slope $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$, $n = 20$. Build a $95\%$ interval. ($df = 18$, $t^{*} \approx 2.10$.)
- Margin of error: $2.10 \times 1.0 = 2.10$.
- Interval: $4.2 \pm 2.10 = (2.1,\ 6.3)$.
- Interpret: we're $95\%$ confident each extra hour predicts between $2.1$ and $6.3$ more points.
Sortie : pente $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$, $n = 20$. Construisez un intervalle $95\%$. ($df = 18$, $t^{*} \approx 2.10$.)
- Marge d'erreur : $2.10 \times 1.0 = 2.10$.
- Intervalle : $4.2 \pm 2.10 = (2.1,\ 6.3)$.
- Interprétez : nous sommes $95\%$ confiants que chaque heure supplémentaire prédit entre $2.1$ et $6.3$ points de plus.
After the LINER conditions, read $b$ and $SE_b$ from the output and build a slope $t$-interval $b \pm t^{*}\,SE_b$ using $df = n - 2$. Interpret it in context — a range of plausible values for the true slope $\beta$ (the predicted change in $y$ per unit $x$).
Après les conditions LINER, lisez $b$ et $SE_b$ dans la sortie et construisez un intervalle de pente $t$-intervalle $b \pm t^{*}\,SE_b$ en utilisant $df = n - 2$. Interprétez-le dans son contexte — une plage de valeurs plausibles pour la vraie pente $\beta$ (le changement prédit dans $y$ par unité de $x$).
The fitted slope and its uncertainty · La pente ajustée et son incertitude
The interval b ± t*·SE_b gives plausible values for the true slope. · L'intervalle b ± t*·SE_b donne des valeurs plausibles pour la vraie pente.
For slope inference with n = 20, what are the degrees of freedom (n − 2)? · Pour l'inférence sur la pente avec n = 20, quels sont les degrés de liberté (n − 2) ?
df = n − 2 = 18 (slope and intercept estimated). · dl = n − 2 = 18 (pente et ordonnée à l'origine estimées).
b = 4.2, SE_b = 1.0, t* = 2.10. Find the margin of error t*·SE_b. · b = 4.2, SE_b = 1.0, t* = 2.10. Trouvez la marge d'erreur t*·SE_b.
2.10 × 1.0 = 2.10.
In computer regression output, the slope b is found in the column labeled... · Dans la sortie de régression informatique, la pente b se trouve dans la colonne intitulée...
The explanatory variable's estimate is the slope. · L'estimation de la variable explicative est la pente.
Slope inference uses n − 1 degrees of freedom. · L'inférence sur la pente utilise n − 1 degrés de liberté.
It's n − 2 — two parameters (slope and intercept) are estimated. · C'est n − 2 — deux paramètres (pente et ordonnée à l'origine) sont estimés.
The mnemonic for the five slope-inference conditions is ___ (five letters). · La mnémotechnique pour les cinq conditions d'inférence sur la pente est ___ (cinq lettres).
Linear, Independent, Normal, Equal SD, Random. · Linéaire, Indépendant, Normal, SD Égal, Aléatoire.