Carrying Out a Goodness-of-Fit Test · Exécution d'un test d'adéquation
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| chi-square statistic/kaɪ skweə stəˈtɪstɪk/ | statistique du chi carré |
The chi-square statistic
- The chi-square statistic 卡方统计量 adds up the standardized gaps across all categories:
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$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Each term compares one category's observed and expected counts.
- Squaring makes every gap positive; dividing by expected scales it.
La statistique du khi-deux
- La statistique du khi-deux 卡方统计量 additionne les écarts normalisés à travers toutes les catégories :
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$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Chaque terme compare les comptes observés et attendus d'une catégorie.
- Le carrage rend chaque écart positif ; diviser par l'attendu met à l'échelle.
Bigger gaps, bigger chi-square
- If observed $\approx$ expected everywhere, each term is tiny → $\chi^2$ is small.
- Large mismatches make terms large → a big $\chi^2$.
- So a large $\chi^2$ is evidence against the claimed distribution.
- $\chi^2$ is always $\ge 0$ (a sum of squares over positives).
Plus grands écarts, khi-deux plus grand
- Si observé $\approx$ attendu partout, chaque terme est minime → $\chi^2$ est petit.
- De gros désaccords rendent les termes grands → un grand $\chi^2$.
- Donc un grand $\chi^2$ est une preuve contre la distribution affirmée.
- $\chi^2$ est toujours $\ge 0$ (une somme de carrés sur des positifs).
Find the p-value
- The p-value is the area to the right of $\chi^2$ under the chi-square curve at the right $df$.
- Chi-square is a right-tailed test — only large values are "extreme."
- A big $\chi^2$ sits far right → small p-value → strong evidence against $H_0$.
- Use technology or a table with $df = \text{categories} - 1$.
Trouver la valeur p
- La p-valeur est l'aire à droite de $\chi^2$ sous la courbe du khi-deux au bon $df$.
- Le khi-deux est un test à queue droite — seules les grandes valeurs sont « extrêmes ».
- Un grand $\chi^2$ est loin à droite → petite p-valeur → fortes preuves contre $H_0$.
- Utilisez une technologie ou une table avec $df = \text{categories} - 1$.
Decide and conclude
- Compare the p-value to $\alpha$: p $\le \alpha$ → reject $H_0$; else fail to reject.
- Reject: convincing evidence the true distribution differs from the claim.
- Fail to reject: not convincing evidence against the claimed fit.
- State it in context — about the model's fit to the data.
Décider et conclure
- Comparez la p-valeur à $\alpha$ : p $\le \alpha$ → rejeter $H_0$ ; sinon ne pas rejeter.
- Rejeter : preuves convaincantes que la vraie distribution diffère de l'affirmation.
- Ne pas rejeter : pas de preuves convaincantes contre l'ajustement affirmé.
- Énoncez-le en contexte — sur l'ajustement du modèle aux données.
Chi-square is always a right-tailed test — never double the tail. Only large $\chi^2$ values are surprising, so the p-value is the right-tail area only (unlike a two-sided $z$ or $t$). Also, plug counts into the formula, not proportions, and use expected (not observed) in each denominator.
Le khi-deux est toujours un test à queue droite — jamais doublez la queue. Seules les grandes valeurs de $\chi^2$ sont surprenantes, donc la p-valeur est uniquement l'aire de la queue droite (contrairement à un $z$ ou $t$ bilatéral). De plus, injectez des comptes dans la formule, pas des proportions, et utilisez l'attendu (et non l'observé) dans chaque dénominateur.
Die test: observed $8, 12, 9, 11, 10, 10$; expected $10$ each; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-value: right-tail area beyond $1.0$ at $df=5$ is large ($\approx 0.96$).
- Decide: $0.96 > 0.05$ → fail to reject; no evidence the die is unfair.
Test de dé : observé $8, 12, 9, 11, 10, 10$ ; attendu $10$ chacun ; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-valeur : aire de la queue droite au-delà de $1.0$ à $df=5$ est grande ($\approx 0.96$).
- Décision : $0.96 > 0.05$ → ne pas rejeter ; aucune preuve que le dé est truqué.
The chi-square statistic $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ measures total mismatch. Its p-value is the right-tail area at $df = \text{categories} - 1$. Compare to $\alpha$: reject $H_0$ if p $\le \alpha$ (the model fits poorly), else fail to reject — stated in context.
La statistique du khi-deux $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ mesure le désaccord total. Sa p-valeur est l'aire de la queue droite à $df = \text{categories} - 1$. Comparez à $\alpha$ : rejeter $H_0$ si p $\le \alpha$ (le modèle s'ajuste mal), sinon ne pas rejeter — énoncé en contexte.
A right-skewed test distribution · Une distribution de test asymétrique à droite
Chi-square is right-tailed — only large values are extreme. · Le khi-deux est unilatéral droit — seules les grandes valeurs sont extrêmes.
One category has observed 8, expected 10. Compute (observed − expected)²/expected. · Une catégorie a observé 8, attendu 10. Calculez (observé − attendu)² / attendu.
(8−10)²/10 = 4/10 = 0.4.
A chi-square test is... · Un test du khi-deux est...
Only large χ² is extreme → right tail only. · Seul un grand χ² est extrême → queue droite uniquement.
A large chi-square statistic is evidence against the claimed distribution. · Une grande statistique du khi-deux est une preuve contre la distribution prétendue.
Big gaps → big χ² → evidence against H0. · Grands écarts → grand χ² → preuve contre H0.
In the chi-square formula, each denominator is the ___ count. · Dans la formule du khi-deux, chaque dénominateur est le ___ effectif.
Divide the squared gap by the expected count. · Divisez l'écart carré par l'effectif attendu.
The chi-square statistic can be negative. · La statistique du khi-deux peut être négative.
It's a sum of squares over positive expecteds — always ≥ 0. · C'est une somme de carrés sur des attendus positifs — toujours ≥ 0.