Sampling Distribution of x-bar · Distribution d'échantillonnage de x-barre
| English | Français |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | moyenne d'échantillon |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | erreur standard |
The distribution of x-bar
- A sample mean 样本均值 $\bar{x}$ estimates the true population mean $\mu$.
- Its sampling distribution is centered at $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (so $\bar{x}$ is unbiased).
- Each sample gives a different $\bar{x}$; the spread shrinks with sample size.
- This is the workhorse statistic for inference about means.
La distribution de x-bar
- Une moyenne d'échantillon 样本均值 $\bar{x}$ estime la véritable moyenne de population $\mu$.
- Sa distribution d'échantillonnage est centrée sur $\mu$ : $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (donc $\bar{x}$ est sans biais).
- Chaque échantillon donne une $\bar{x}$ différente ; la dispersion diminue avec la taille de l'échantillon.
- C'est la statistique principale pour l'inférence sur les moyennes.
The standard deviation
- The standard deviation of $\bar{x}$ is:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- The population SD divided by $\sqrt{n}$ — often called the standard error.
- Quadruple $n$ and the spread only halves (because of the square root).
L'écart-type
- L'écart-type de $\bar{x}$ est :
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- L'écart-type de la population divisé par $\sqrt{n}$ — souvent appelé erreur type.
- Quadruplez $n$ et la dispersion ne diminue que de moitié (à cause de la racine carrée).
Normality via the CLT
- Is $\bar{x}$ normal? Two ways to justify it:
- If the population is normal, $\bar{x}$ is exactly normal for any $n$.
- Otherwise, the Central Limit Theorem gives approximate normality when $n \ge 30$.
- Always state which justification your problem relies on.
Normalité via le TCL
- $\bar{x}$ est-elle normale ? Deux façons de le justifier :
- Si la population est normale, $\bar{x}$ est exactement normale pour tout $n$.
- Sinon, le Théorème Central Limite donne une normalité approximative lorsque $n \ge 30$.
- Indiquez toujours quelle justification votre problème repose sur.
Conditions and probabilities
- Check the 10% condition ($n \le 0.10N$) when sampling without replacement.
- With normality justified, standardize: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Then find probabilities for $\bar{x}$ from the standard normal.
- This answers "how likely is a sample mean this far from $\mu$?"
Conditions et probabilités
- Vérifiez la condition des 10 % ($n \le 0.10N$) lors d'un échantillonnage sans remise.
- Avec la normalité justifiée, standardisez : $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Ensuite, trouvez les probabilités pour $\bar{x}$ à partir de la loi normale centrée réduite.
- Cela répond à la question « quelle est la probabilité qu'une moyenne d'échantillon soit aussi éloignée de $\mu$ ? »
Use $\sigma/\sqrt{n}$, not $\sigma$, for the spread of $\bar{x}$ — the sample mean varies far less than individual data values. A frequent error is dividing by $n$ instead of $\sqrt{n}$. And justify normality explicitly: either a normal population or the CLT with a large $n$ — don't assume $\bar{x}$ is normal for a small sample from a skewed population.
Utilisez $\sigma/\sqrt{n}$, pas $\sigma$, pour l' dispersion de $\bar{x}$ — la moyenne d'échantillon varie beaucoup moins que les valeurs de données individuelles. Une erreur fréquente consiste à diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$. Et justifiez explicitement la normalité : soit une population normale soit le TCL avec un grand $n$ — ne présumez pas que $\bar{x}$ est normale pour un petit échantillon provenant d'une population asymétrique.
Population mean $\mu = 100$, SD $\sigma = 20$; take $n = 25$.
- Center: $\mu_{\bar{x}} = 100$. SD: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → about $2.5\%$.
- So a sample mean above $108$ is fairly unlikely.
Moyenne de population $\mu = 100$, écart-type $\sigma = 20$ ; prenez $n = 25$.
- Centre : $\mu_{\bar{x}} = 100$. Écart-type : $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$ : $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → environ $2.5\%$.
- Donc une moyenne d'échantillon supérieure à $108$ est assez peu probable.
The sample mean $\bar{x}$ has $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justify a normal model either by a normal population or by the Central Limit Theorem ($n\ge 30$); check the 10% condition when sampling without replacement, then find probabilities via $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
La moyenne d'échantillon $\bar{x}$ a une moyenne $\mu_{\bar{x}} = \mu$ et un écart-type $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justifiez un modèle normal soit par une population normale, soit par le Théorème Central Limite ($n\ge 30$) ; vérifiez la condition des 10 % lors du prélèvement sans remise, puis trouvez les probabilités via $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
The sampling distribution of x-bar · La distribution d'échantillonnage de x-barre
Centered at μ, spread σ/√n (the standard error). · Centrée en μ, dispersion σ/√n (l'erreur standard).
Population σ = 20, n = 25. Find the SD of x-bar, σ/√n. · Population σ = 20, n = 25. Trouver l'ET de x-barre, σ/√n.
20/√25 = 20/5 = 4.
With μ=100 and SD of x-bar = 4, find the z-score of x-bar = 108. · Avec μ=100 et ET de x-barre = 4, trouver le score z de x-barre = 108.
z = (108 − 100)/4 = 2.
The standard deviation of the sample mean is... · L'écart-type de la moyenne d'échantillon est...
Divide σ by √n — not by n. · Diviser σ par √n — pas par n.
If the population is already normal, x-bar is normal for any sample size n. · Si la population est déjà normale, x-barre est normale pour toute taille d'échantillon n.
A normal population gives an exactly normal x-bar at any n. · Une population normale donne un x-barre exactement normal à tout n.
To make the sampling distribution of x-bar have half the spread, you should... · Pour que la distribution d'échantillonnage de x-barre ait la moitié de la dispersion, vous devriez...
Spread ∝ 1/√n, so 4× n halves the SD. · Dispersion ∝ 1/√n, donc 4× n divise l'ET par deux.