Difference of Two Means · Différence de deux moyennes
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| difference of two sample means/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl miːnz/ | différence de deux moyennes d'échantillon |
Comparing two means
- To compare two population means, use the difference of two sample means 两个样本均值之差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$.
- Its sampling distribution is centered at the true difference: $\mu_1 - \mu_2$.
- This statistic drives every two-sample $t$-procedure in Unit 7.
- It tells us whether two groups' averages genuinely differ.
Comparer deux moyennes
- Pour comparer deux moyennes de population, utilisez la différence de deux moyennes d'échantillon 两个样本均值之差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$.
- Sa distribution d'échantillonnage est centrée sur la vraie différence : $\mu_1 - \mu_2$.
- Cette statistique guide chaque procédure à deux échantillons $t$-dans l'Unité 7.
- Elle nous indique si les moyennes de deux groupes diffèrent véritablement.
Combining the two spreads
- The standard deviation combines both groups' variability:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- Again the variances add — each group contributes its own $\frac{\sigma^2}{n}$.
- The $+$ holds even though we're taking a difference of means.
Combiner les deux dispersions
- L'écart-type combine la variabilité des deux groupes :
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- Encore une fois, les variances s'additionnent — chaque groupe contribue sa propre $\frac{\sigma^2}{n}$.
- La $+$ tient même si nous prenons une différence de moyennes.
Conditions for both samples
- Normality: each $\bar{x}$ must be normal — a normal population or a large enough $n$ (CLT) for each group.
- Independence: the two samples are independent of each other.
- The 10% condition for each if sampling without replacement.
- Verify these separately for group $1$ and group $2$.
Conditions pour les deux échantillons
- Normalité : chaque $\bar{x}$ doit être normal — une population normale ou un $n$ suffisamment grand (TCL) pour chaque groupe.
- Indépendance : les deux échantillons sont indépendants l'un de l'autre.
- La condition des 10 % pour chacun si le prélèvement se fait sans remise.
- Vérifiez ces conditions séparément pour le groupe $1$ et le groupe $2$.
Using the normal model
- With conditions met, $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ is approximately normal.
- Standardize: (observed difference $-$ true difference) $\div$ the combined SD.
- Read the probability from the standard normal.
- This foundation becomes the two-sample $t$-test and interval later.
Utiliser le modèle normal
- Conditions remplies, $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ est approximativement normale.
- Standardiser : (différence observée $-$ différence vraie) $\div$ l'écart-type combiné.
- Lisez la probabilité dans la loi normale centrée réduite.
- Cette base deviendra plus tard le test et l'intervalle à deux échantillons $t$-.
Add the variances, even for a difference of means — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$, then square-root; never subtract, and never add the SDs directly. And each group needs its own normality justification (normal population or large $n$) — the CLT must be satisfied per group, not for the combined data.
Ajoutez les variances, même pour une différence de moyennes — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$, puis racine carrée ; ne soustrayez jamais, et n'ajoutez jamais directement les écarts-types. Et chaque groupe a besoin de sa propre justification de normalité (population normale ou grand $n$) — le TCL doit être satisfait par groupe, et non pour les données combinées.
Group $1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. Group $2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- Center: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- Standardize any observed difference against this center and SD.
Groupe $1$ : $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. Groupe $2$ : $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- Centre : $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- Écart-type : $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- Standardisez toute différence observée par rapport à cette moyenne et cet écart-type.
The difference of two sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ has mean $\mu_1 - \mu_2$ and SD $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ (variances add). Model it as normal when the normality (per group) and independence conditions hold — the basis for two-sample inference about means.
La différence de deux moyennes d'échantillon $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ a une moyenne $\mu_1 - \mu_2$ et un écart-type $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ (les variances s'additionnent). Modélisez-le comme normal lorsque les conditions de normalité (par groupe) et d'indépendance sont remplies — c'est la base de l'inférence à deux échantillons sur les moyennes.
Distribution of x-bar-1 − x-bar-2 · Distribution de x-barre-1 − x-barre-2
Centered at μ1 − μ2; the two variances add under the root. · Centrée en μ1 − μ2 ; les deux variances s'additionnent sous la racine.
μ1 = 50, μ2 = 45. Find the center of x-bar-1 − x-bar-2. · μ1 = 50, μ2 = 45. Trouver le centre de x-barre-1 − x-barre-2.
μ1 − μ2 = 50 − 45 = 5.
σ1=6,n1=9 and σ2=8,n2=16. Find SD = √(36/9 + 64/16). Round to two decimals. · σ1=6,n1=9 et σ2=8,n2=16. Trouver ET = √(36/9 + 64/16). Arrondir à deux décimales.
√(4 + 4) = √8 ≈ 2.83.
The variance of a difference of two independent sample means is the sum of the two variances. · La variance d'une différence de deux moyennes d'échantillon indépendantes est la somme des deux variances.
Variances add even for a difference: σ1²/n1 + σ2²/n2. · Les variances s'additionnent même pour une différence : σ1²/n1 + σ2²/n2.
For a normal model of x-bar-1 − x-bar-2, normality must be justified... · Pour un modèle normal de x-barre-1 − x-barre-2, la normalité doit être justifiée...
Each group needs a normal population or a large enough n. · Chaque groupe a besoin d'une population normale ou d'un n assez grand.
You may add the two standard deviations directly to get the SD of the difference. · Vous pouvez additionner directement les deux écarts-types pour obtenir l'ET de la différence.
Add the variances, then take the square root — not the SDs. · Additionnez les variances, puis prenez la racine carrée — pas les ET.