Difference of Two Proportions · Différence de deux proportions
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| difference of two sample proportions/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl prəˈpɔːʃnz/ | différence de deux proportions d'échantillon |
Comparing two groups
- Often we compare two proportions — say, support in group $1$ vs group $2$.
- The statistic is the difference of two sample proportions 两个样本比例之差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$.
- Its sampling distribution is centered at the true difference: $\mu = p_1 - p_2$.
- It lets us judge whether two groups genuinely differ.
Comparer deux groupes
- On compare souvent deux proportions — par exemple, le soutien dans le groupe $1$ vs le groupe $2$.
- La statistique est la différence de deux proportions d'échantillon 两个样本比例之差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$.
- Sa distribution d'échantillonnage est centrée sur la vraie différence : $\mu = p_1 - p_2$.
- Elle nous permet de juger si deux groupes diffèrent réellement.
Combining the spreads
- The standard deviation combines both samples' variability:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- Note the $+$: variances add (echoing the "combining variables" rule) even for a difference.
- Each group contributes its own $\frac{p(1-p)}{n}$ term.
Combiner les dispersions
- L'écart-type combine la variabilité des deux échantillons :
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- Notez le $+$ : les variances s'additionnent (rappel de la règle "combiner les variables") même pour une différence.
- Chaque groupe apporte son propre terme $\frac{p(1-p)}{n}$.
Check both samples
- Apply the large counts condition to each group: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ all $\ge 10$.
- Require independence: the two samples are independent of each other.
- Also the 10% condition for each if sampling without replacement.
- Only then is the normal model for $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ valid.
Vérifier les deux échantillons
- Appliquez la condition des grands effectifs à chaque groupe : $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ all $\ge 10$.
- Exiger l'indépendance : les deux échantillons sont indépendants l'un de l'autre.
- Aussi la condition des 10 % pour chacun si échantillonnage sans remise.
- Seulement alors le modèle normal pour $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est-il valide.
Using the normal model
- With conditions met, $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ is approximately normal.
- Standardize with a $z$-score: (observed difference $-$ true difference) $\div$ the combined SD.
- Then read probabilities from the standard normal, as before.
- This is the foundation for two-proportion tests and intervals (Unit 6).
Utiliser le modèle normal
- Conditions remplies, $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ est approximativement normale.
- Standardisez avec un score-$z$ : (différence observée $-$ vraie différence) $\div$ l'écart-type combiné.
- Puis lisez les probabilités dans la normale standard, comme auparavant.
- C'est la base des tests et intervalles à deux proportions (Unité 6).
Variances add — even for a difference. The SD of $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ combines the two $\frac{p(1-p)}{n}$ terms with a $+$, then a square root; you never subtract them. And check the large counts condition in both groups separately (four counts, all $\ge 10$) — one healthy group doesn't excuse a thin one.
Les variances s'additionnent — même pour une différence. L'écart-type de $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ combine les deux termes $\frac{p(1-p)}{n}$ avec un $+$, puis une racine carrée ; vous ne les soustrayez jamais. Et vérifiez la condition des grands effectifs dans chacun des deux groupes séparément (quatre effectifs, tous $\ge 10$) — un groupe sain ne justifie pas un groupe mince.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- Center: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- Counts: all four ($50, 50, 40, 60$) exceed $10$ → normal is OK.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- Centre : $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- Écart-type : $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- Effectifs : les quatre ($50, 50, 40, 60$) dépassent $10$ → normal OK.
The difference of two sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ has mean $p_1 - p_2$ and SD $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ (variances add). Model it as normal when the large counts and independence conditions hold for both samples.
La différence de deux proportions d'échantillon $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ a une moyenne $p_1 - p_2$ et un écart-type $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ (variances additives). Modélisez-le comme normal lorsque les conditions des grands effectifs et d'indépendance sont satisfaites pour les deux échantillons.
Distribution of p-hat-1 − p-hat-2 · Distribution de p-hat-1 − p-hat-2
Centered at p1 − p2; the two variances add under the square root. · Centrée en p1 − p2 ; les deux variances s'additionnent sous la racine carrée.
p1=0.5, p2=0.4. Find the center (mean) of p-hat-1 − p-hat-2. · p1=0.5, p2=0.4. Trouver le centre (moyenne) de p-hat-1 − p-hat-2.
Mean = p1 − p2 = 0.5 − 0.4 = 0.1. · Moyenne = p1 − p2 = 0.5 − 0.4 = 0.1.
With p1=0.5,n1=100 and p2=0.4,n2=100: SD = √(0.0025+0.0024). Round to two decimals. · Avec p1=0.5,n1=100 et p2=0.4,n2=100 : ET = √(0.0025+0.0024). Arrondir à deux décimales.
√0.0049 = 0.07.
To get the SD of a difference of two proportions, you subtract the two variances. · Pour obtenir l'ET d'une différence de deux proportions, vous soustrayez les deux variances.
Variances ADD, even for a difference, then square-root. · Les variances S'ADDITIONNENT, même pour une différence, puis racine carrée.
For a normal model of p-hat-1 − p-hat-2, the large counts condition must hold... · Pour un modèle normal de p-hat-1 − p-hat-2, la condition des grands comptes doit être respectée...
All four counts (both groups) must be ≥ 10. · Les quatre comptes (les deux groupes) doivent être ≥ 10.
The two samples must be independent of each other for this model. · Les deux échantillons doivent être indépendants l'un de l'autre pour ce modèle.
Independence between samples is required. · L'indépendance entre les échantillons est requise.