Sampling Distribution of p-hat · Distribution d'échantillonnage de p-hat
| English | Français |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | proportion d'échantillon |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | condition des grands comptes |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | condition des 10 % |
The distribution of p-hat
- A sample proportion 样本比例 $\hat{p}$ estimates the true population proportion $p$.
- Its sampling distribution is centered at $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (so $\hat{p}$ is unbiased).
- Different samples give different $\hat{p}$ — the spread is what we quantify next.
- Under the right conditions, this distribution is approximately normal.
La distribution de p-hat
- Une proportion d'échantillon 样本比例 $\hat{p}$ estime la proportion vraie de la population $p$.
- Sa distribution d'échantillonnage est centrée sur $p$ : $\mu_{\hat{p}} = p$ (donc $\hat{p}$ est sans biais).
- Différents échantillons donnent des $\hat{p}$ différents — la dispersion est ce que nous quantifions maintenant.
- Sous les bonnes conditions, cette distribution est approximativement normale.
Its standard deviation
- The standard deviation of $\hat{p}$ is:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Bigger $n$ → smaller spread → a more precise estimate (the $\sqrt{n}$ in the bottom).
- This measures the typical distance of $\hat{p}$ from the true $p$.
Son écart-type
- L'écart-type de $\hat{p}$ est :
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Un $n$ plus grand → une dispersion plus petite → une estimation plus précise (le $\sqrt{n}$ en bas).
- Cela mesure la distance typique de $\hat{p}$ par rapport à la vraie $p$.
The large counts condition
- To use a normal model for $\hat{p}$, check the large counts condition 大计数条件:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- In words: expect at least $10$ successes and at least $10$ failures.
- If either count is under $10$, the sampling distribution is too skewed for the normal model.
La condition des grands effectifs
- Pour utiliser un modèle normal pour $\hat{p}$, vérifiez la condition des grands effectifs 大计数条件 :
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- En termes simples : s'attendre à au moins $10$ succès et au moins $10$ échecs.
- Si l'un des effectifs est inférieur à $10$, la distribution d'échantillonnage est trop asymétrique pour le modèle normal.
The 10% condition
- When sampling without replacement, check the 10% condition 10%条件.
- The sample must be no more than $10\%$ of the population: $n \le 0.10 N$.
- This keeps the trials "close enough" to independent for the SD formula to hold.
- A small slice of a big population barely changes as you draw.
La condition des 10 %
- Lors d'un échantillonnage sans remise, vérifiez la condition des 10 % 10%条件.
- L'échantillon doit représenter au plus $10\%$ de la population : $n \le 0.10 N$.
- Cela garde les essais "assez proches" de l'indépendance pour que la formule de l'écart-type soit valide.
- Une petite tranche d'une grande population change peu à mesure que vous prélevez.
Two different conditions do two different jobs. The large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifies the normal shape; the 10% condition ($n\le0.10N$) justifies the independence behind the SD formula. Check both before modeling $\hat{p}$ as normal — skipping either invalidates the later inference.
Deux conditions différentes font deux choses différentes. La condition des grands effectifs ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifie la forme normale ; la condition des 10 % ($n\le0.10N$) justifie l'indépendance sous-jacente à la formule de l'écart-type. Vérifiez les deux avant de modéliser $\hat{p}$ comme normale — omettre l'une invalide les inférences ultérieures.
$p = 0.4$ of a population supports a plan; you sample $n = 100$.
- Center: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. SD: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Large counts: $np = 40 \ge 10$ and $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal is OK.
- 10%: fine as long as the population exceeds $1000$.
$p = 0.4$ de la population soutiennent un plan ; vous prélevez un échantillon de $n = 100$.
- Centre : $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. Écart-type : $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Grands effectifs : $np = 40 \ge 10$ et $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal OK.
- 10 % : OK tant que la population dépasse $1000$.
The sample proportion $\hat{p}$ has $\mu_{\hat{p}} = p$ and $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Model it as normal when the large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) holds; when sampling without replacement, also check the 10% condition ($n \le 0.10N$).
La proportion d'échantillon $\hat{p}$ a $\mu_{\hat{p}} = p$ et $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Modélisez-la comme normale lorsque la condition des grands effectifs ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) est satisfaite ; lors d'un échantillonnage sans remise, vérifiez également la condition des 10 % ($n \le 0.10N$).
The sampling distribution of p-hat · La distribution d'échantillonnage de p-hat
Centered at p, spread √(p(1−p)/n); normal under the large counts condition. · Centrée en p, dispersion √(p(1−p)/n) ; normale sous la condition des grands comptes.
p = 0.4, n = 100. Find σ of p-hat = √(p(1−p)/n). Round to two decimals. · p = 0.4, n = 100. Trouver σ de p-hat = √(p(1−p)/n). Arrondir à deux décimales.
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
The large counts condition for a normal model of p-hat requires... · La condition des grands comptes pour un modèle normal de p-hat nécessite...
At least 10 expected successes AND 10 expected failures. · Au moins 10 succès attendus ET 10 échecs attendus.
The mean of the sampling distribution of p-hat equals the true proportion p. · La moyenne de la distribution d'échantillonnage de p-hat égale la proportion vraie p.
μ(p-hat) = p, so p-hat is unbiased. · μ(p-hat) = p, donc p-hat est sans biais.
When sampling without replacement, the 10% condition requires... · Lors de l'échantillonnage sans remise, la condition des 10 % nécessite...
The sample must be at most 10% of the population. · L'échantillon doit représenter au maximum 10 % de la population.
Increasing n makes the standard deviation of p-hat smaller. · Augmenter n réduit l'écart-type de p-hat.
n is under the square root, so larger n → smaller spread. · n est sous la racine carrée, donc plus grand n → dispersion plus faible.