The Geometric Distribution · La Distribution Géométrique
| English | Français |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | géométriques |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aléatoire géométrique |
Waiting for the first success
- The geometric 几何 distribution counts trials until the first success.
- A geometric random variable 几何随机变量 $X$ = the number of trials to get the first success.
- Example: how many rolls until you get your first six?
- Unlike binomial, $n$ isn't fixed — you stop the moment you succeed.
En attendant le premier succès
- La distribution géométrique 几何 compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès.
- Une variable aléatoire géométrique 几何随机变量 $X$ = le nombre d'essais pour obtenir le premier succès.
- Exemple : combien de lancers faut-il jusqu'à ce que vous obteniez votre premier six ?
- Contrairement au cas binomial, $n$ n'est pas fixe — on s'arrête dès qu'on réussit.
The geometric setting
- Same trial conditions as binomial, but a different stopping rule:
- Repeated independent trials, each with the same probability $p$ of success.
- You keep going until the first success, then stop.
- "Until first success" is the signal word for geometric.
Le cadre géométrique
- Même conditions d'essai que le binomial, mais une règle d'arrêt différente :
- Essais indépendants répétés, chacun ayant la même probabilité $p$ de succès.
- On continue jusqu'au premier succès, puis on s'arrête.
- « Jusqu'à ce que la première réussite » est le mot-clé pour la géométrie.
The geometric formula
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- To succeed first on trial $k$: fail the first $k-1$ times, then succeed.
- $(1-p)^{k-1}$ = those failures; $p$ = the success on trial $k$.
- The probabilities shrink as $k$ grows — early success is most likely.
La formule géométrique
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- Pour réussir en premier à l'essai $k$ : échouer les $k-1$ premiers essais, puis réussir.
- $(1-p)^{k-1}$ = ces échecs ; $p$ = le succès à l'essai $k$.
- Les probabilités diminuent lorsque $k$ augmente — un succès précoce est le plus probable.
The geometric mean
- The mean (expected number of trials) is:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- If $p = 0.2$, expect $1/0.2 = 5$ trials on average until the first success.
- Rarer successes ($small$p$) mean you wait longer — makes intuitive sense.
La moyenne géométrique
- La moyenne (nombre d'essais attendu) est :
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- Si $p = 0.2$, on s'attend à $1/0.2 = 5$ essais en moyenne avant le premier succès.
- Des succès rares ($small$p$) signifient que vous attendez plus longtemps — cela semble intuitif.
Geometric vs. binomial comes down to the stopping rule. Binomial: fixed $n$, count successes. Geometric: run until the first success, count trials. If a problem fixes the number of tries, it's binomial; if it says "until the first…", it's geometric. And the geometric mean is $1/p$ — not $np$.
La différence entre géométrique et binomial réside dans la règle d'arrêt. Binomial : $n$ fixe, compter les succès. Géométrique : courir jusqu'au premier succès, compter les essais. Si un problème fixe le nombre d'essais, c'est du binomial ; s'il dit « jusqu'au premier… », c'est du géométrique. Et la moyenne géométrique est $1/p$ — pas $np$.
Roll a die until the first six; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — first six on the $3$rd roll.
- Mean: $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ rolls expected until the first six.
- Makes sense — a six comes up on average once every six rolls.
Lancer un dé jusqu'au premier six ; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — premier six au $3$ème lancer.
- Moyenne : $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ lancers attendus jusqu'au premier six.
- Cela a du sens — un six apparaît en moyenne une fois tous les six lancers.
A geometric random variable counts trials until the first success, with independent trials at constant $p$. Then $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ and the mean is $\mu_X = \frac{1}{p}$. The key contrast with binomial: geometric runs until the first success (variable trials), binomial has a fixed $n$.
Une variable aléatoire géométrique compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès, avec des essais indépendants à probabilité constante $p$. Alors $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ et la moyenne est $\mu_X = \frac{1}{p}$. La distinction clé avec le binomial : le géométrique court jusqu'au premier succès (essais variables), le binomial a un $n$ fixe.
Rolling until the first success · Lancer jusqu'au premier succès
Keep rolling until the target appears — that's a geometric count. · Continuer à lancer jusqu'à ce que la cible apparaisse — c'est un comptage géométrique.
A geometric variable has p = 0.2. Find the mean number of trials, 1/p. · Une variable géométrique a p = 0.2. Trouver le nombre moyen d'essais, 1/p.
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
Which situation is geometric (not binomial)? · Quelle situation est géométrique (et non binomiale) ?
'Until the first success' → geometric; fixed n → binomial. · 'Jusqu'au premier succès' → géométrique ; n fixe → binomiale.
Roll a die until the first six (p = 1/6). Find the expected number of rolls. · Lancer un dé jusqu'au premier six (p = 1/6). Trouver le nombre attendu de lancers.
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
In the geometric formula P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, the (1−p)^(k−1) part is the first k−1 failures. · Dans la formule géométrique P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, la partie (1−p)^(k−1) correspond aux k−1 premiers échecs.
Fail k−1 times, then succeed on trial k. · Échouer k−1 fois, puis réussir à l'essai k.
The mean of a geometric random variable is 1 divided by ___ (the letter for success probability). · La moyenne d'une variable aléatoire géométrique est 1 divisé par ___ (la lettre pour la probabilité de succès).
μ = 1/p.