Conic Sections · Coniques
| English | Français |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | ellipse |
| parabola/pəˈræbələ/ | parabole |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | hyperbole |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | conique |
Slicing a cone
- Take a double cone and slice it with a flat plane at different tilts.
- Cut straight across and you get a circle; tilt a little and it stretches to an ellipse.
- Tilt more and it opens into a parabola; steeper still and it splits into a hyperbola.
- These four curves — the conic sections — appear all over science and design.
Découper un cône
- Prenez un double cône et coupez-le avec un plan plat à différentes inclinaisons.
- Coupez droit et vous obtenez un cercle ; inclinez légèrement et cela s'étire en ellipse.
- Inclinez davantage et cela s'ouvre en parabole ; encore plus raide et cela se scinde en hyperbole.
- Ces quatre courbes — les sections coniques — apparaissent partout dans la science et la conception.
The family of conics
- A conic section 圆锥曲线 is a curve where a plane cuts a cone.
- The four types are the circle, the ellipse, the parabola, and the hyperbola.
- Each has a clean implicit equation and a geometric "distance" definition.
- Planets orbit on ellipses; thrown balls and satellite dishes trace parabolas.
La famille des coniques
- Une section conique 圆锥曲线 est une courbe où un plan coupe un cône.
- Les quatre types sont le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.
- Chacune a une équation implicite propre et une définition géométrique de "distance".
- Les planètes orbitent sur des ellipses ; les balles lancées et les antennes satellite tracent des paraboles.
The · Le conic sections are the curves formed by… · Les coniques sont les courbes formées par…
A conic section is the intersection of a plane and a cone; the slice angle gives a circle, ellipse, parabola, or hyperbola. · Une conique est l'intersection d'un plan et d'un cône ; l'angle de coupe donne un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
A circle is a special conic section (an ellipse whose two foci coincide). · Un cercle est une conique spéciale (une ellipse dont les deux foyers coïncident).
When the two foci merge into one centre, the ellipse becomes a perfectly round circle. · Lorsque les deux foyers fusionnent en un centre unique, l'ellipse devient un cercle parfaitement rond.
The ellipse
- An ellipse 椭圆 is the set of points whose distances to two fixed foci add to a constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, a stretched circle.
- A circle is just the special case where the two foci merge into one centre.
- The longer axis is the major axis; the shorter is the minor axis.
L'ellipse
- Une ellipse 椭圆 est l'ensemble des points dont les distances à deux foyers fixes additiven une constante.
- Son équation est $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, un cercle étiré.
- Un cercle n'est qu'un cas spécial où les deux foyers fusionnent en un seul centre.
- Le grand axe est l'axe majeur ; le petit est l'axe mineur.
An ellipse is the set of points where the sum of distances to two foci is… · Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est…
Every point on an ellipse has the same · même total distance to the two foci — that constant defines the shape. · Chaque point sur une ellipse a la même distance totale aux deux foyers — cette constante définit la forme.
Select all · tout the conic sections. · Sélectionnez toutes les coniques.
A triangle is not a conic. The circle, ellipse, parabola, and hyperbola are the conic sections. · Un triangle n'est pas une conique. Le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont les coniques.
Parabola and hyperbola
- A parabola 抛物线 is the set of points equidistant from a focus and a fixed line (the directrix).
- Its equation looks like $y = ax^2$ — the graph of a quadratic.
- A hyperbola 双曲线 is where the difference of distances to two foci is constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, opening into two branches.
Parabole et hyperbole
- Une parabole 抛物线 est l'ensemble des points équidistants d'un foyer et d'une droite fixe (la directrice).
- Son équation ressemble à $y = ax^2$ — le graphique d'une quadratique.
- Une hyperbole 双曲线 est là où la différence des distances à deux foyers est constante.
- Son équation est $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, s'ouvrant en deux branches.
Which conic section? · Quelle conique ?
The squared terms tell you the conic. Sort each equation. · Les termes au carré vous indiquent la conique. Classez chaque équation.
A ____ is the conic where each point is equidistant from a focus and a directrix line. · Un ____ est la conique où chaque point est équidistant d'un foyer et d'une directrice.
A parabola · parabole balances distance to a focus against distance to a fixed line (the directrix). · Une parabole équilibre la distance à un foyer contre la distance à une ligne fixe (la directrice).
Recognising a conic
- Read the equation's form: an $x^2 + y^2$ with equal coefficients is a circle.
- Different positive coefficients on $x^2$ and $y^2$ give an ellipse.
- Only one squared term gives a parabola; a minus sign between them gives a hyperbola.
- The sign pattern of the squared terms tells you which conic you have.
Reconnaître une conique
- Lisez la forme de l'équation : une $x^2 + y^2$ avec des coefficients égaux est un cercle.
- Des coefficients positifs différents sur $x^2$ et $y^2$ donnent une ellipse.
- Un seul terme au carré donne une parabole ; un signe moins entre eux donne une hyperbole.
- Le motif de signes des termes au carré vous dit quelle conique vous avez.
Not every conic is a function of $x$. Circles, ellipses, and sideways parabolas fail the vertical-line test. Describe them with implicit equations or parametric forms, not by trying to force a single $y = f(x)$.
Toute conique n'est pas une fonction de $x$. Cercles, ellipses et paraboles latérales échouent au test de la ligne verticale. Décrivez-les avec des équations implicites ou paramétriques, pas en essayant de forcer une unique $y = f(x)$.
Identify the conic $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Both terms are squared, positive, and different coefficients.
- That is the equation of an ellipse.
- It stretches to $x = \pm 3$ (major axis) and $y = \pm 2$ (minor axis).
Identifiez la conique $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Les deux termes sont au carré, positifs, et ont des coefficients différents.
- C'est l'équation d'une ellipse.
- Elle s'étire vers $x = \pm 3$ (axe majeur) et $y = \pm 2$ (axe mineur).
The conic sections — circle, ellipse, parabola, and hyperbola — are the curves formed by slicing a cone. Each has a distance definition (an ellipse sums distances to two foci) and a signature implicit equation, and most are not functions of $x$.
Les sections coniques — cercle, ellipse, parabole et hyperbole — sont les courbes formées en coupant un cône. Chacune a une définition de distance (une ellipse somme les distances à deux foyers) et une équation implicite signature, et la plupart ne sont pas des fonctions de $x$.