Interpreting the Behavior of Accumulation Functions Involving Area · Interpréter le comportement des fonctions d'accumulation impliquant l'aire
| English | Français |
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| extrema/ekˈstremə/ | extrêmas |
Reading $g$ from the graph of $f$
- If $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then by FTC Part 1, $g'=f$ — so $f$ is the derivative of $g$.
- That means everything from Unit 5 applies: use $f$ (as $g'$) to analyze $g$.
- The sign of $f$ tells you where $g$ increases and decreases.
- The zeros of $f$ (where it changes sign) locate the extrema of $g$.
Lire $g$ à partir du graphe de $f$
- Si $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, alors par FTC Partie 1, $g'=f$ — donc $f$ est la dérivée de $g$.
- Cela signifie que tout ce qui concerne l'Unité 5 s'applique : utilisez $f$ (comme $g'$) pour analyser $g$.
- Le signe de $f$ vous indique où $g$ augmente et diminue.
- Les zéros de $f$ (où il change de signe) localisent les extrema de $g$.
When analyzing $g(x)=\int_a^x f\,dt$, the graph of $f$ acts as the graph of $g'$. · En analysant $g(x)=\int_a^x f\,dt$, le graphe de $f$ agit comme le graphe de $g'$.
FTC Part 1: $g'=f$. · FTC Partie 1 : $g'=f$.
Increase/decrease from the sign of $f$
- Where $f(x)>0$: $g$ is increasing (area is being added).
- Where $f(x)<0$: $g$ is decreasing (area is being subtracted).
- So look at the graph of $f$: above the axis → $g$ climbs; below → $g$ falls.
- $g$ is the running total of signed area, so its direction follows $f$'s sign.
Augmentation/diminution à partir du signe de $f$
- Là où $f(x)>0$ : $g$ est croissant (l'aire est ajoutée).
- Là où $f(x)<0$ : $g$ est décroissant (l'aire est soustraite).
- Regardez donc le graphe de $f$ : au-dessus de l'axe → $g$ monte ; en dessous → $g$ descend.
- $g$ est le total courant de l'aire signée, donc sa direction suit le signe de $f$.
g rises where f is positive · g augmente où f est positif
y = f(t) (the integrand = g′) · y = f(t) (l'intégrande = g′)
While $f$ (the shaded height) is positive, the accumulated area $g$ increases; when $f$ turns negative, $g$ decreases. · Tandis que $f$ (la hauteur ombragée) est positive, l'aire accumulée $g$ augmente ; lorsque $f$ devient négatif, $g$ diminue.
For · Pour $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ is increasing exactly where... · Pour $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ est croissant exactement où...
$g'=f$, so $g$ increases where $f>0$. · $g'=f$, donc $g$ augmente là où $f>0$.
Extrema of $g$ where $f$ changes sign
- $g$ has a local max where $f$ (its derivative) changes from positive to negative.
- $g$ has a local min where $f$ changes from negative to positive.
- These are just the First Derivative Test applied to $g$, using $f$ as $g'$.
- The extrema 极值 of the accumulation function sit at the $x$-axis crossings of $f$.
Extrema de $g$ où $f$ change de signe
- $g$ a un maximum local où $f$ (sa dérivée) passe de positif à négatif.
- $g$ a un minimum local où $f$ passe de négatif à positif.
- Ce sont juste le Test de la première dérivée appliqué à $g$, en utilisant $f$ comme $g'$.
- Les extremums 极值 de la fonction d'accumulation se situent aux passages par l'axe des $x$ de $f$.
$g$ has a local maximum where $f$ changes from... · $g$ a un maximum local où $f$ change de...
$g'=f$ goes $+\to-$ → local max of $g$. · $g'=f$ passe de $+\to-$ → maximum local de $g$.
From the graph of $f$, you can read which features of $g=\int_a^x f\,dt$? · À partir du graphe de $f$, pouvez-vous lire lesquels caractéristiques de $g=\int_a^x f\,dt$ ?
Increase/decrease, extrema, concavity — all from $f$. Exact values need the actual area. · Croissance/décroissance, extrema, convexité — tout cela depuis $f$. Les valeurs exactes nécessitent l'aire réelle.
Concavity of $g$ from the slope of $f$
- Since $g'=f$, we get $g''=f'$ — so the concavity of $g$ follows the slope of $f$.
- Where $f$ is increasing, $g$ is concave up; where $f$ is decreasing, $g$ is concave down.
- An inflection point of $g$ sits where $f$ has a local max or min (where $f'$ changes sign).
- One graph of $f$ tells you increase/decrease and concavity of $g$.
Concavité de $g$ à partir de la pente de $f$
- Puisque $g'=f$, nous obtenons $g''=f'$ — donc la concavité de $g$ suit la pente de $f$.
- Où $f$ est croissante, $g$ est concave vers le haut ; où $f$ est décroissante, $g$ est concave vers le bas.
- Un point d'inflexion de $g$ se trouve là où $f$ a un maximum ou minimum local (où $f'$ change de signe).
- Le graphique de $f$ vous indique l'augmentation/diminution et la concavité de $g$.
Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is ____. · Puisque $g''=f'$, $g$ est convexe là où $f$ est ____.
$g''=f'>0$ where $f$ rises. · $g''=f'>0$ là où $f$ monte.
A large positive value of $f$ at $x$ means that $g$ is... · Une grande valeur positive de $f$ à $x$ signifie que $g$ est...
$f=g'$ is the rate · taux; a large $f$ means $g$ rises fast, not that $g$ is big. · $f=g'$ est le taux ; une grande $f$ signifie que $g$ monte vite, pas que $g$ est grand.
To analyze $g(x)=\int_a^x f\,dt$, treat the graph of $f$ as the graph of $g'$. Don't read $f$'s height as $g$'s height — read $f$'s sign for $g$'s increase/decrease, and $f$'s sign changes for $g$'s extrema. A big positive $f$ means $g$ is rising fast, not that $g$ is large.
Pour analyser $g(x)=\int_a^x f\,dt$, traitez le graphique de $f$ comme le graphique de $g'$. Ne lisez pas la hauteur de $f$ comme la hauteur de $g$ — lisez le signe de $f$ pour l'augmentation/diminution de $g$, et les changements de signe de $f$ pour les extrema de $g$. Une grande valeur positive de $f$ signifie que $g$ monte vite, pas que $g$ est grand.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, where $f>0$ on $(0,3)$, $f(3)=0$, and $f<0$ on $(3,5)$.
- On $(0,3)$: $f>0$ → $g$ increasing. On $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decreasing.
- At $x=3$: $f$ changes $+\to-$ → $g$ has a local maximum.
- So $g$ climbs to a peak at $x=3$, then falls.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, où $f>0$ sur $(0,3)$, $f(3)=0$, et $f<0$ sur $(3,5)$.
- Sur $(0,3)$ : $f>0$ → $g$ croissant. Sur $(3,5)$ : $f<0$ → $g$ décroissant.
- À $x=3$ : $f$ change de $+\to-$ → $g$ a un maximum local.
- Donc $g$ monte jusqu'à un pic en $x=3$, puis redescend.
For $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, and has extrema where $f$ changes sign. Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is increasing. Read the graph of $f$ as the graph of $g'$.
Pour $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, utilisez $g'=f$ : $g$ croît où $f>0$, décroit où $f<0$, et a des extrema où $f$ change de signe. Puisque $g''=f'$, $g$ est concave vers le haut où $f$ croît. Lisez le graphique de $f$ comme le graphique de $g'$.