Approximating Areas with Riemann Sums · Approximation des aires avec les sommes de Riemann
| English | Français |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | somme de Riemann |
| left/left/ | vers la gauche |
| right/raɪt/ | juste |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | point milieu |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | trapèze |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | règle du trapèze |
Estimate a curvy area with rectangles
- The area under a curve is rarely a neat rectangle — so approximate it with many thin rectangles.
- Slice the interval into strips, build a rectangle on each, and add up their areas.
- This sum of rectangle areas is a Riemann sum 黎曼和.
- More, thinner rectangles → a better estimate of the true area.
Estimer une aire courbe avec des rectangles
- L'aire sous une courbe est rarement un rectangle parfait — on l'approxime donc avec de nombreux rectangles fins.
- Découpez l'intervalle en bandes, construisez un rectangle sur chacune, et additionnez leurs aires.
- Cette somme d'aires rectangulaires est une somme de Riemann 黎曼和.
- Plus il y a de rectangles, plus ils sont fins → meilleure estimation de l'aire réelle.
The area we approximate · L'aire que nous approximons
y = x²
Rectangles or trapezoids fill the shaded area under the curve — more, thinner strips estimate it better. · Des rectangles ou trapèzes remplissent l'aire ombragée sous la courbe — plus on utilise de bandes fines, meilleure est l'estimation.
Using more, thinner rectangles generally improves a Riemann-sum estimate. · L'utilisation de rectangles plus nombreux et plus fins améliore généralement une estimation par somme de Riemann.
Thinner strips hug the curve better. · Les bandes plus fines épousent mieux la courbe.
Left, right, and midpoint rectangles
- Each rectangle's height comes from the function — but where in the strip do you measure it?
- Left 左端 sum: height from the left edge of each strip.
- Right 右端 sum: height from the right edge.
- Midpoint 中点 sum: height from the middle — usually the most accurate of the three.
Rectangles gauche, droite et milieu
- La hauteur de chaque rectangle provient de la fonction — mais où dans la bande la mesurez-vous ?
- Somme gauche 左端 : hauteur prise au bord gauche de chaque bande.
- Somme droite 右端 : hauteur prise au bord droit.
- Somme milieu 中点 : hauteur prise au centre — généralement la plus précise des trois.
For · Pour $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$): heights $f(1)=1$, $f(2)=4$. Find the right Riemann sum. · Pour $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ avec $2$ rectangles droits (largeur $1$) : hauteurs $f(1)=1$, $f(2)=4$. Trouver la somme de Riemann droite.
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Same setup, but a left · vers la gauche Riemann sum: heights $f(0)=0$, $f(1)=1$. Find it. · Même configuration, mais une somme de Riemann gauche : hauteurs $f(0)=0$, $f(1)=1$. La trouver.
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Which are standard ways to pick a rectangle's height in a Riemann sum? · Quelles sont les méthodes standards pour choisir la hauteur d'un rectangle dans une somme de Riemann ?
Left, right, and midpoint are the standard choices. · Gauche, droite et point milieu sont les choix standards.
Trapezoids fit even better
- Instead of a flat-topped rectangle, connect the two edge heights with a slanted top: a trapezoid 梯形.
- The trapezoidal rule 梯形法则 averages the left and right heights on each strip.
- It hugs a smooth curve more closely than rectangles, so it's usually more accurate.
- Area of each trapezoid $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Les trapèzes s'adaptent encore mieux
- Au lieu d'un rectangle à sommet plat, reliez les deux hauteurs de bord par un sommet incliné : un trapèze 梯形.
- La règle des trapèzes 梯形法则 fait la moyenne des hauteurs gauche et droite sur chaque bande.
- Elle épouse plus étroitement une courbe lisse que les rectangles, elle est donc généralement plus précise.
- Aire de chaque trapèze $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
The ____ rule uses slanted tops (average of edge heights) for a closer fit than rectangles. · La règle ____ utilise des sommets inclinés (moyenne des hauteurs latérales) pour un ajustement plus précis que les rectangles.
Each trapezoid averages the left and right heights. · Chaque trapèze moyenne les hauteurs gauche et droite.
Over- or underestimate?
- On an increasing function: left sums underestimate, right sums overestimate.
- On a decreasing function: it's the reverse — left over, right under.
- The trapezoidal rule's error depends on concavity (over on concave-up, under on concave-down).
- Knowing the direction of the error lets you bound the true area.
sure ou sous-estimation ?
- Sur une fonction croissante : les sommes gauches sous-estiment, les sommes droites surestiment.
- Sur une fonction décroissante : c'est l'inverse — gauche surestime, droite sous-estime.
- L'erreur de la règle des trapèzes dépend de la concavité (surestimation sur convexe vers le haut, sous-estimation sur convexe vers le bas).
- Connaître le sens de l'erreur permet de borner l'aire réelle.
For an increasing function, a left Riemann sum gives an... · Pour une fonction croissante, une somme de Riemann gauche donne un...
Left heights are the smaller edge on an increasing curve → underestimate. · Les hauteurs gauches sont le côté inférieur sur une courbe croissante → sous-estimation.
The three rectangle rules can give quite different answers for a small number of strips — they are approximations, not the exact area. And whether a left or right sum over- or under-estimates depends on whether the function is increasing or decreasing, not on the rule alone. Always check the function's behavior.
Les trois règles de rectangles peuvent donner des réponses très différentes pour un petit nombre de bandes — ce sont des approximations, pas l'aire exacte. Et qu'une somme gauche ou droite surestime ou sous-estime dépend du fait que la fonction soit croissante ou décroissante, pas seulement de la règle elle-même. Vérifiez toujours le comportement de la fonction.
Estimate the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$).
- Right heights: $f(1)=1$ and $f(2)=4$.
- Right sum $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (The true area is $\tfrac83\approx2.67$; since $x^2$ is increasing, the right sum overestimates — as expected.)
Estimez l'aire sous $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ avec $2$ rectangles droits (largeur $1$).
- Hauteurs droites : $f(1)=1$ et $f(2)=4$.
- Somme droite $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (L'aire réelle est $\tfrac83\approx2.67$ ; comme $x^2$ est croissante, la somme droite surestime — comme prévu.)
A Riemann sum approximates area with rectangles: left, right, or midpoint heights. The trapezoidal rule uses slanted tops (averaging edge heights) for a closer fit. For an increasing function, left sums underestimate and right sums overestimate; more strips → a better approximation.
Une somme de Riemann approxime l'aire avec des rectangles : hauteurs gauche, droite ou milieu. La règle des trapèzes utilise des sommets inclinés (moyenne des hauteurs de bord) pour un ajustement plus proche. Pour une fonction croissante, les sommes gauches sous-estiment et les sommes droites surestiment ; plus de bandes → meilleure approximation.