Straight-Line Motion: Connecting Position, Velocity, and Acceleration · Mouvement rectiligne : Relier position, vitesse et accélération
| English | Français |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | position |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | vitesse |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | accélération |
| speed/spiːd/ | vitesse |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | déplacement |
Position, velocity, acceleration — a derivative chain
- Motion along a line is the classic home of the derivative.
- Position 位置 $s(t)$ says where the object is at time $t$.
- Its derivative is velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ — how fast and which way.
- The derivative of velocity is acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Position, vitesse, accélération — une chaîne de dérivées
- Le mouvement le long d'une ligne est le domaine classique de la dérivée.
- Position 位置 $s(t)$ indique où se trouve l'objet au temps $t$.
- Sa dérivée est la vitesse 速度 $v(t)=s'(t)$ — à quelle vitesse et dans quelle direction.
- La dérivée de la vitesse est l'accélération 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
A position-time curve · Une courbe position-temps
y = ax³ + bx² + cx
The slope of this position curve is velocity; where it levels off ($v=0$) the object is momentarily at rest. · La pente de cette courbe de position est la vitesse ; là où elle s'aplatit ($v=0$), l'objet est momentanément au repos.
Velocity is the derivative of... · La vitesse est la dérivée de...
$v=s'$: velocity is the derivative of position. · $v=s'$ : la vitesse est la dérivée de la position.
Velocity carries a sign
- Velocity is signed: $v>0$ means moving in the positive direction, $v<0$ the negative direction.
- Speed 速率 is the size only, $|v|$ — always non-negative.
- The object is at rest when $v(t)=0$ (momentarily stopped).
- A sign change in $v$ means the object turned around.
La vitesse porte un signe
- La vitesse est signée : $v>0$ signifie se déplacer dans la direction positive, $v<0$ dans la direction négative.
- La vitesse scalaire 速率 est sa grandeur seule, $|v|$ — toujours non négative.
- L'objet est au repos lorsque $v(t)=0$ (temporairement arrêté).
- Un changement de signe dans $v$ signifie que l'objet a tourné.
For · Pour $v(t)=3t^2-12t+9$, the object is at rest when $v=0$. One such time is $t=1$; find the other · autre time. · Pour $v(t)=3t^2-12t+9$, l'objet est au repos lorsque $v=0$. Un tel instant est $t=1$ ; trouver l'autre instant.
$3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ or · ou $t=3$. · $3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ ou $t=3$.
Speed is the absolute value of velocity, so speed is never negative. · La vitesse est la valeur absolue de la vitesse, donc la vitesse ne peut jamais être négative.
Speed · Vitesse $=|v|\ge0$; velocity carries a sign. · Vitesse $=|v|\ge0$ ; la vitesse vectorielle porte un signe.
Speeding up or slowing down?
- Compare the signs of velocity and acceleration:
- Same sign ($v$ and $a$ both $+$, or both $-$) → the object is speeding up.
- Opposite signs → the object is slowing down.
- (Intuition: acceleration pushing the same way as motion adds speed; pushing against it removes speed.)
Accélérer ou décélérer ?
- Comparez les signes de la vitesse et de l'accélération :
- Mêmes signes ($v$ et $a$ tous deux $+$, ou tous deux $-$) → l'objet est accélérant.
- Signes opposés → l'objet est décélérant.
- (Intuition : si l'accélération pousse dans le même sens que le mouvement, la vitesse augmente ; si elle pousse contre, la vitesse diminue.)
An object is speeding up when velocity and acceleration have... · Un objet accélère lorsque la vitesse et l'accélération ont...
Same sign → speeding up; opposite → slowing down. · Même signe → accélération ; opposé → décélération.
At $t=1$, $v=-2$ and · et $a=-6$. Select all · tout true statements. · En $t=1$, $v=-2$ et $a=-6$. Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
$v<0$ (negative direction), $v,a$ same sign (speeding up), $|v|=2$. It is not at rest ($v\neq0$). · $v<0$ (direction négative), $v,a$ même signe (accélération), $|v|=2$. Il n'est pas au repos ($v\neq0$).
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- Displacement 位移 over $[t_1,t_2]$ is $s(t_2)-s(t_1)$ — net change in position (can be zero even after moving).
- Direction of motion = sign of $v$; turning points are where $v=0$ and changes sign.
- From $s(t)$ you can get everything by differentiating: $v=s'$, then $a=v'$.
- This chain — position → velocity → acceleration — is one of the most tested ideas in the course.
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- Déplacement 位移 sur $[t_1,t_2]$ est $s(t_2)-s(t_1)$ — changement net de position (peut être zéro même après avoir bougé).
- Direction du mouvement = signe de $v$ ; les points de retournement sont là où $v=0$ s'annule et change de signe.
- À partir de $s(t)$, vous pouvez tout obtenir en dérivant : $v=s'$, puis $a=v'$.
- Cette chaîne — position → vitesse → accélération — est l'une des idées les plus testées du cours.
The net change in position over an interval, $s(t_2)-s(t_1)$, is called the ____. · Le changement net de position sur un intervalle, $s(t_2)-s(t_1)$, est appelé la ____.
Displacement is net change in position. · Le déplacement est le changement net de position.
"Speeding up" is not the same as "positive acceleration." An object with $v<0$ and $a<0$ is speeding up (moving faster in the negative direction). Always compare the signs of $v$ and $a$: same sign → speeding up, opposite signs → slowing down. And velocity (signed) is not speed ($|v|$).
« Accélérer » n'est pas la même chose que « accélération positive ». Un objet avec $v<0$ et $a<0$ accélère (se déplace plus vite dans la direction négative). Comparez toujours les signes de $v$ et $a$ : mêmes signes → accélération, signes opposés → décélération. Et la vitesse (signée) n'est pas la vitesse scalaire ($|v|$).
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (metres, seconds). Analyze the motion at $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; $\;v(1)=3-12+9=0$ — the object is momentarily at rest.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Just after $t=1$, $v$ turns negative while $a<0$ (same sign) → it speeds up moving in the negative direction.
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (mètres, secondes). Analysez le mouvement à $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$ ; $\;v(1)=3-12+9=0$ — l'objet est temporairement au repos.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Juste après $t=1$, $v$ devient négatif tandis que $a<0$ (même signe) → il accélère en se déplaçant dans la direction négative.
For straight-line motion, velocity $v=s'$ and acceleration $a=v'=s''$. Velocity is signed (direction); speed is $|v|$; the object is at rest when $v=0$. Compare signs: $v$ and $a$ the same → speeding up, opposite → slowing down. Displacement over an interval is the net change $s(t_2)-s(t_1)$.
Pour un mouvement rectiligne, vitesse $v=s'$ et accélération $a=v'=s''$. La vitesse est signée (direction) ; la vitesse scalaire est $|v|$ ; l'objet est au repos quand $v=0$. Comparez les signes : $v$ et $a$ les mêmes → accélération, opposés → décélération. Le déplacement sur un intervalle est le changement net $s(t_2)-s(t_1)$.