Differentiating Inverse Trigonometric Functions · Dérivation des fonctions trigonométriques inverses
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| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | fonctions trigonométriques inverses |
Derivatives that hide a square root
- The inverse trig functions — $\arcsin$, $\arctan$, and friends — undo sine, tangent, etc.
- Their derivatives are surprisingly algebraic: no trig at all, just powers and roots.
- Two are worth memorizing outright; the rest follow the same pattern.
- These inverse trigonometric functions 反三角函数 show up in integrals later, so knowing their derivatives pays off twice.
Dérivées qui masquent une racine carrée
- Les fonctions trigonométriques inverses — $\arcsin$, $\arctan$ et autres — annulent le sinus, la tangente, etc.
- Leurs dérivées sont surprenamment algébriques : pas de trig, seulement des puissances et des racines.
- Deux valent la peine d'être mémorisés directement ; les autres suivent le même schéma.
- Ces fonctions trigonométriques inverses 反三角函数 apparaissent dans les intégrales plus tard, donc connaître leurs dérivées rapporte doublement.
The two you must know
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Notice: $\arcsin$ has a root in the denominator; $\arctan$ has a clean $1+x^2$.
- Both are always positive on their domains — these inverses are increasing.
Les deux que vous devez connaître
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Remarquez : $\arcsin$ a une racine au dénominateur ; $\arctan$ a un $1+x^2$ propre.
- Les deux sont toujours positives sur leurs domaines — ces inverses sont croissantes.
The arctangent's gentle slope · La pente douce de l'arctangente
y = a·tanh(bx) (arctan-like shape) · y = a·tanh(bx) (forme similaire à l'arctangente)
$\arctan x$ rises fastest at $0$ (slope $1$) and flattens out — its derivative $\tfrac{1}{1+x^2}$ shrinks toward $0$. · $\arctan x$ croît le plus vite en $0$ (pente $1$) et s'aplatit — sa dérivée $\tfrac{1}{1+x^2}$ tend vers $0$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ ?
$\arcsin$ has the root form $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. · $\arcsin$ a la forme racine $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$ ?
$\arctan$ has the clean form $\tfrac{1}{1+x^2}$ (no root). · $\arctan$ a la forme simple $\tfrac{1}{1+x^2}$ (pas de racine).
The rest of the family
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — same as $\arcsin$ but negative.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — the negative of $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- The "co-" inverses carry a minus, echoing the ordinary trig pattern.
Le reste de la famille
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — identique à $\arcsin$ mais négatif.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — l'opposé de celui de $\arctan$.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- Les inverses « co- » portent un moins, écho du motif trigonométrique ordinaire.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ is the ____ of $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (same magnitude, opposite sign). · $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ est la ____ de $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (même magnitude, signe opposé).
$\arccos$ carries the minus sign. · $\arccos$ porte le signe moins.
Select all · tout inverse-trig derivatives that contain a square root. · Sélectionnez toutes les dérivées trigonométriques inverses contenant une racine carrée.
$\arcsin$, $\arccos$, and arcsec have roots; $\arctan$ is $\tfrac{1}{1+x^2}$ with no root. · $\arcsin$, $\arccos$ et arcsec ont des racines ; $\arctan$ est $\tfrac{1}{1+x^2}$ sans racine.
Chain them up
- With the chain rule, replace $x$ by an inner function $u$ and multiply by $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Same routine as any chain-rule problem: outer formula, then $\times\,u'$.
Les chaîner
- Avec la règle de la chaîne, remplacer $x$ par une fonction interne $u$ et multiplier par $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Même routine que tout problème de règle de la chaîne : formule externe, puis $\times\,u'$.
For · Pour $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Find $y'$ at $x=0$. · Pour $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Trouver $y'$ en $x=0$.
At $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$. · En $x=0$ : $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (no inner factor). · $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (pas de facteur interne).
The chain rule adds the inner derivative $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$. · La règle de chaîne ajoute la dérivée interne $3$ : $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
Don't confuse the two shapes: $\arcsin$ gives $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (a root), while $\arctan$ gives $\frac{1}{1+x^2}$ (no root). And with the chain rule, never drop the inner derivative: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, not $\frac{1}{1+9x^2}$.
Ne confondez pas les deux formes : $\arcsin$ donne $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (une racine), tandis que $\arctan$ donne $\frac{1}{1+x^2}$ (pas de racine). Et avec la règle de la chaîne, ne négligez jamais la dérivée intérieure : $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, et non $\frac{1}{1+9x^2}$.
Differentiate $y=\arctan(x^2)$.
- Outer: $\arctan(u)$ with $u=x^2$, giving $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Inner derivative: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Dérivez $y=\arctan(x^2)$.
- Externe : $\arctan(u)$ avec $u=x^2$, donnant $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Dérivée interne : $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Memorize $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ and $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. The "co-" inverses ($\arccos$, arccot) carry a minus. For composite inverse trigonometric functions, apply the chain rule — the standard formula times the inner derivative $u'$.
Mémoriser $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. Les inverses « co- » ($\arccos$, arccot) portent un moins. Pour les fonctions trigonométriques inverses composées, appliquer la règle de la chaîne — la formule standard multipliée par la dérivée interne $u'$.