Finding the Derivatives of Tangent, Cotangent, Secant, and Cosecant Functions · Trouver les dérivées des fonctions Tangente, Cota ngente, Sécante et Cosécante
| English | Français |
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| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonométrique |
The other four trig functions
- We know $\sin'=\cos$ and $\cos'=-\sin$. The other four trig functions are all quotients of these.
- So the Quotient Rule derives their derivatives — no new magic, just careful algebra.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Learn the four results, but know they come from the Quotient Rule.
Les quatre autres fonctions trigonométriques
- Nous connaissons $\sin'=\cos$ et $\cos'=-\sin$. Les quatre autres fonctions trigonométriques sont toutes des quotients de celles-ci.
- C'est pourquoi la Règle du quotient permet de dériver leurs dérivées — aucune magie nouvelle, juste une algèbre soignée.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Apprenez les quatre résultats, mais sachez qu'ils viennent de la Règle du quotient.
These four derivatives are all obtained using the... · Ces quatre dérivées sont toutes obtenues en utilisant la...
Each of $\tan,\cot,\sec,\csc$ is a quotient of $\sin$/$\cos$. · Chacun de $\tan,\cot,\sec,\csc$ est un quotient de $\sin$/$\cos$.
Deriving $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Quotient Rule: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Since $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- So $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ and, similarly, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
Dériver $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Règle du quotient : $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Puisque $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ : $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- Donc $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ et, de même, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
The sine wave whose ratio makes tan · L'onde sinus dont le rapport fait tan
$\tan x=\sin x/\cos x$; its derivative $\sec^2 x$ is always positive — tan is increasing wherever it is defined. · $\tan x=\sin x/\cos x$ ; sa dérivée $\sec^2 x$ est toujours positive — tan est croissante partout où elle est définie.
What is $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$ ?
From the Quotient Rule on $\sin/\cos$: $\sec^2 x$. · De la règle du quotient sur $\sin/\cos$ : $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
It is · C'est $-\csc^2 x$. · C'est $-\csc^2 x$.
The secant and cosecant pair
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Pattern: the "co-" functions ($\cos,\cot,\csc$) all carry a minus sign in their derivative.
- Each of these four also follows from the Quotient Rule applied to a $\tfrac1{\cos}$ or $\tfrac1{\sin}$.
La paire sécante et cosécante
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Schéma : les fonctions "co-" ($\cos,\cot,\csc$) portent toutes un signe moins dans leur dérivée.
- Chacune de ces quatre découle également de la Règle du quotient appliquée à un $\tfrac1{\cos}$ ou $\tfrac1{\sin}$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$ ?
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
The derivatives of $\cot x$ and · et $\csc x$ both carry a minus sign. · Les dérivées de $\cot x$ et $\csc x$ portent toutes deux un signe moins.
$-\csc^2 x$ and · et $-\csc x\cot x$ — the "co-" functions carry a minus. · $-\csc^2 x$ et $-\csc x\cot x$ — les fonctions "co-" portent un signe moins.
Using them with other rules
- These trigonometric derivatives combine with the product and quotient rules like any others.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Product Rule).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Keep the four boxed results handy; they turn up throughout the rest of the course.
Les utiliser avec d'autres règles
- Ces dérivées trigonométriques se combinent avec les règles du produit et du quotient comme n'importe lesquelles d'autres.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Règle du produit).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Gardez les quatre résultats encadrés à portée de main ; ils apparaîtront tout au long du reste du cours.
Select all · tout correct derivatives. · Sélectionnez tous les dérivés corrects.
The last is wrong: $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, not $\sec^2 x$. · Le dernier est faux : $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, pas $\sec^2 x$.
Watch the minus signs on the "co-" functions: $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ and $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ both carry a minus, matching $\cos'=-\sin$. Mixing up $\sec^2 x$ (from $\tan$) with $\csc^2 x$ (from $\cot$) is another frequent slip — pair each derivative with its source.
Surveillez les signes moins des fonctions "co-" : $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ et $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ portent tous deux un moins, tout comme $\cos'=-\sin$. Confondre $\sec^2 x$ (issu de $\tan$) avec $\csc^2 x$ (issu de $\cot$) est une autre erreur fréquente — associez chaque dérivée à sa source.
Differentiate $y=x^2\sec x$.
- Product Rule with $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Factor: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
Dérivez $y=x^2\sec x$.
- Règle du produit avec $f=x^2$, $g=\sec x$ : $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Factorisez : $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
The four extra trigonometric derivatives all follow from the Quotient Rule: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. The "co-" functions carry a minus. Combine them freely with the product and quotient rules.
Les quatre dérivées trigonométriques supplémentaires découlent toutes de la Règle du quotient : $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. Les fonctions "co-" portent un moins. Combinez-les librement avec les règles du produit et du quotient.