Derivative Rules: Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple · Règles de dérivation : Constante, Somme, Différence et Multiple constant
| English | Français |
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| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polynomiale |
Four rules that break a polynomial apart
- The Power Rule handles one term. To differentiate a whole polynomial 多项式 you need to combine terms.
- Four simple rules let you do it term by term, in your head.
- They cover constants, sums, differences, and coefficients.
- Together with the Power Rule, they differentiate any polynomial in one pass.
Quatre règles qui décomposent un polynôme
- La règle de puissance gère un terme. Pour dériver un polynôme 多项式 complet, vous devez combiner les termes.
- Quatre règles simples vous permettent de le faire terme par terme, mentalement.
- Elles couvrent les constantes, les sommes, les différences et les coefficients.
- Ensemble avec la règle de puissance, elles dérivent n'importe quel polynôme en un seul passage.
Constant, sum, and difference
- Constant rule: the derivative of a constant is $0$. A flat line has zero slope: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Sum rule: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — differentiate each piece and add.
- Difference rule: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — same, with a minus.
- So you can split a long expression and handle each term separately.
Constante, somme et différence
- Règle de constante : la dérivée d'une constante est $0$. Une ligne plate a une pente nulle : $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- Règle de somme : $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — dérivez chaque morceau et ajoutez.
- Règle de différence : $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — même chose, avec un signe moins.
- Ainsi, vous pouvez découper une longue expression et traiter chaque terme séparément.
What is $\dfrac{d}{dx}[12]$? · Quelle est la valeur de $\dfrac{d}{dx}[12]$ ?
The derivative of any constant is $0$. · La dérivée de toute constante est $0$.
By the sum rule, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____. · Par la règle de somme, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
Differentiate each piece and add. · Dériver chaque morceau et ajouter.
Constant multiple
- Constant multiple rule: a coefficient just rides along: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- The number out front is untouched by differentiation; only the $x$-part changes.
- Combine with the sum rule: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
Multiple constant
- Règle du multiple constant : un coefficient passe simplement à côté : $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- Le nombre devant reste intact par la dérivation ; seul le $x$-partie change.
- Combinez avec la règle de somme : $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
A cubic and its changing slope · Un cubique et sa pente changeante
y = ax³ + bx
The derivative of a polynomial is another polynomial — drag the coefficients and picture where the slope is positive or negative. · La dérivée d'un polynôme est un autre polynôme — faites glisser les coefficients et visualisez où la pente est positive ou négative.
If $f(x)=5x^3$, find $f'(2)$. · Si $f(x)=5x^3$, trouver $f'(2)$.
$f'(x)=15x^2$, so $f'(2)=15\cdot4=60$. · $f'(x)=15x^2$, donc $f'(2)=15\cdot4=60$.
For · Pour $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, select all · tout correct term derivatives. · Pour $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$, sélectionnez tous les dérivés de termes corrects.
The constant $-8$ differentiates to $0$, not $-8$. · La constante $-8$ se dérive en $0$, pas en $-8$.
Differentiate a polynomial in one pass
- Read the polynomial term by term, applying the Power Rule and coefficients as you go.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Notice the constant $-9$ vanishes, and the $7x$ becomes just $7$.
- With practice you write the derivative directly, no scratch work.
Dérivez un polynôme en un seul passage
- Lisez le polynôme terme par terme, en appliquant la règle de puissance et les coefficients au fur et à mesure.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- Remarquez que la constante $-9$ disparaît, et que le $7x$ devient juste $7$.
- Avec la pratique, vous écrivez la dérivée directement, sans brouillon.
Differentiate $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$. · Dérivez $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
Term by term: $12x^3$, $-4x$, $+7$, and the constant $\to 0$. · Terme par terme : $12x^3$, $-4x$, $+7$, et la constante $\to 0$.
The sum rule lets you compute $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ as $f'\cdot g'$. · La règle de somme vous permet de calculer $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ comme $f'\cdot g'$.
Sum/difference rules split across $+$ and · et $-$ only; a product needs the Product Rule. · Les règles de somme/différence se divisent sur $+$ et $-$ uniquement ; un produit nécessite la règle du produit.
There is no "product rule shortcut" hiding here: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ is not $f'\cdot g'$. The sum/difference rules split across $+$ and $-$ only. Products and quotients need their own rules (lessons 2.8–2.9). Also, the derivative of a constant is $0$, not the constant itself.
Il n'y a pas de « raccourci de la règle du produit » ici : $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ n'est pas $f'\cdot g'$. Les règles de somme/différence se divisent sur $+$ et $-$ uniquement. Les produits et quotients nécessitent leurs propres règles (leçons 2.8–2.9). De plus, la dérivée d'une constante est $0$, pas la constante elle-même.
Differentiate $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Rewrite: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Term by term: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, and $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Dérivez $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- Réécrivez : $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- Terme par terme : $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, et $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
Four combining rules: constant $\to 0$; sum/difference differentiate term by term; constant multiple keeps the coefficient out front ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). With the Power Rule these differentiate any polynomial in a single pass — but they split only across $+$ and $-$, never across a product.
Quatre règles de combinaison : constante $\to 0$ ; somme/soustraction différentier terme par terme ; multiplication par une constante garder le coefficient devant ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). Avec la règle de puissance, elles différentient tout polynôme d'un seul coup — mais elles ne s'appliquent qu'à travers $+$ et $-$, jamais à travers un produit.