Defining the Derivative of a Function and Using Derivative Notation · Définir la dérivée d'une fonction et utiliser la notation de la dérivée
| English | Français |
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| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
The derivative: instantaneous rate, packaged
- The instantaneous rate of change is so useful it gets its own name: the derivative 导数.
- It turns "slope of the tangent at each $x$" into a brand-new function, $f'(x)$.
- Feed it an $x$, and it returns the slope of $f$ right there.
- This lesson makes the definition precise and shows the notations you'll use everywhere.
La dérivée : taux instantané, encapsulé
- Le taux de variation instantané est si utile qu'il a son propre nom : la dérivée 导数.
- Elle transforme "pente de la tangente à chaque $x$" en une nouvelle fonction, $f'(x)$.
- Lui donner un $x$ renvoie la pente de $f$ à cet endroit précis.
- Cette leçon rend la définition précise et montre les notations que vous utiliserez partout.
The derivative is the tangent slope · La dérivée est la pente de la tangente
y = x²
Drag the point along the curve — the number the tangent slope shows is exactly $f'(x)$ at that input. · Faites glisser le point le long de la courbe — le nombre indiqué par la pente de la tangente est exactement $f'(x)$ à cette entrée.
The limit definition
- The derivative of $f$ is
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Inside is a difference quotient — the secant slope over an interval of width $h$.
- Taking $h\to0$ shrinks the interval to nothing, turning the secant slope into the tangent slope.
La définition par limite
- La dérivée de $f$ est
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- À l'intérieur se trouve un quotient de différence — la pente de la sécante sur un intervalle de largeur $h$.
- Faire tendre $h\to0$ réduit l'intervalle à rien, transformant la pente de la sécante en celle de la tangente.
Which expression is the limit definition of $f'(x)$? · Quelle expression représente la définition par limite de $f'(x)$ ?
The derivative is the limit of the difference quotient as $h\to0$. · La dérivée est la limite du quotient différentiel lorsque $h\to0$.
The "at a point" version
- To find the slope at one specific input $a$, use the alternate form:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Here $x$ slides toward $a$ instead of a step $h$ shrinking to $0$ — same idea, different bookkeeping.
- Both definitions are just "secant slope, in the limit," so they always agree.
La version "en un point"
- Pour trouver la pente à une entrée spécifique $a$, utilisez la forme alternative :
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Ici $x$ glisse vers $a$ plutôt qu'une marche $h$ se réduisant à $0$ — même idée, autre gestion.
- Les deux définitions ne font que dire "pente de la sécante, en la limite", donc elles coïncident toujours.
You can compute $f'(x)$ by setting $h=0$ directly in $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. · Vous pouvez calculer $f'(x)$ en insérant directement $h=0$ dans $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
That gives $\tfrac00$; you must take the limit after simplifying. · Cela donne $\tfrac00$ ; vous devez prendre la limite après simplification.
The alternate form $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ is best described as... · La forme alternative $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est mieux décrite comme...
It is the same tangent slope at $a$, expressed with $x\to a$ instead of $h\to0$. · C'est la même pente de tangente en $a$, exprimée avec $x\to a$ au lieu de $h\to0$.
Reading the notations
- The same derivative wears several outfits — learn to recognize all of them:
- Lagrange: $f'(x)$ (read "$f$ prime of $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ or $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — emphasizes "rate of $y$ with respect to $x$."
- All mean the instantaneous rate of change, i.e. the slope of the tangent line at $x$.
Lire les notations
- La même dérivée porte plusieurs tenues — apprenez à les reconnaître toutes :
- Lagrange : $f'(x)$ (se lit « $f$ prime de $x$ »).
- Leibniz : $\dfrac{dy}{dx}$ ou $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — met l'accent sur le « taux de $y$ par rapport à $x$ »."
- Tous désignent le taux de changement instantané, c'est-à-dire la pente de la tangente en $x$.
The Leibniz notation $\dfrac{dy}{dx}$ means the same thing as $f'(x)$: the ____ of the tangent line. · La notation de Leibniz $\dfrac{dy}{dx}$ signifie la même chose que $f'(x)$ : la ____ de la tangente.
Both denote the instantaneous rate of change = tangent slope. · Les deux désignent le taux de variation instantané = pente de la tangente.
Select all · tout notations that denote the derivative of $y=f(x)$. · Sélectionnez toutes les notations désignant la dérivée de $y=f(x)$.
The first three are all the derivative; $f(x)^{-1}$ is a reciprocal/inverse, not a derivative. · Les trois premières sont toutes la dérivée ; $f(x)^{-1}$ est un réciproque/inverse, pas une dérivée.
You cannot just plug $h=0$ into $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — that gives $\tfrac00$. The derivative is the limit as $h\to0$, which you evaluate by simplifying the difference quotient first (cancel the $h$), then letting $h\to0$. Skipping the limit is the classic mistake.
Vous ne pouvez pas simplement remplacer $h=0$ dans $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — cela donne $\tfrac00$. La dérivée est la limite lorsque $h\to0$, que vous évaluez en simplifiant d'abord le quotient de différence (en annulant le $h$), puis en laissant $h\to0$. Omettre la limite est l'erreur classique.
From the definition, $f(x)=x^2$ gives $f'(x)=2x$. Evaluate $f'(3)$. · D'après la définition, $f(x)=x^2$ donne $f'(x)=2x$. Évaluez $f'(3)$.
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Use the definition to find $f'(x)$ for $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (for $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, so $f'(x)=2x$.
Utilisez la définition pour trouver $f'(x)$ pour $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (pour $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, donc $f'(x)=2x$.
The derivative $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (or the point form $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) is the limit of a difference quotient — the slope of the tangent line, i.e. the instantaneous rate of change. Write it as $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, or $\frac{d}{dx}[f(x)]$.
La dérivée $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (ou la forme ponctuelle $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) est la limite d'un quotient de différence — la pente de la tangente, c'est-à-dire le taux de changement instantané. Écrivez-le sous la forme $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}[f(x)]$.