Alternating currents · Courants alternatifs
| English | Français |
|---|---|
| peak value/piːk ˈvæljuː/ | valeur de crête |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | vitesse quadratique moyenne |
| alternating current/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈkʌrənt/ | courant alternatif |
| sinusoidal/ˌsaɪnəˈsɔɪdl/ | sinusoïdal |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | frquence angulaire |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radians |
| cathode-ray oscilloscope/ˈkæθəʊd reɪ ɒˈsɪləskəʊp/ | oscilloscope à rayons cathodiques |
| time-base/taɪm beɪs/ | base de temps |
The 230 volts that is never 230 volts
- A mains socket is labelled $230\ \text{V}$, yet an oscilloscope shows the voltage swinging up to about $325\ \text{V}$ and down to $-325\ \text{V}$, fifty times a second.
- Neither number is a mistake. The mains voltage really does reach $325\ \text{V}$, and it really does behave like a steady $230\ \text{V}$ battery when it heats a kettle.
- Reconciling those two facts is what this lesson is about.
- The tools are the peak value 峰值, the root-mean-square 均方根 value, and the fact that average a.c. power is half the peak power.
Les 230 volts qui ne sont jamais 230 volts
- Une prise secteur est étiquetée $230\ \text{V}$, yet un oscilloscope montre la tension oscillant jusqu'à environ $325\ \text{V}$ et descendant jusqu'à $-325\ \text{V}$, cinquante fois par seconde.
- Aucun des deux nombres n'est une erreur. La tension secteur atteint réellement $325\ \text{V}$, et elle se comporte réellement comme une batterie constante de $230\ \text{V}$ lorsqu'elle chauffe une bouilloire.
- Réconcilier ces deux faits est l'objet de cette leçon.
- Les outils sont la valeur de crête 峰值, la valeur racine carrée de la moyenne des carrés (RMS) 均方根, et le fait que la puissance moyenne a.c. est la moitié de la puissance de crête.
Period, frequency and peak value
- An alternating current 交流电 keeps reversing direction; the mains is sinusoidal 正弦, so $I$ and $V$ follow sine waves in time.
- The period $T$ is the time for one complete cycle. The frequency $f$ is the number of complete cycles per unit time, so $f = 1/T$.
- The peak value is the maximum value of the current or voltage in a cycle. Those three sentences are the marked wordings.
- The mean value over a whole cycle is zero, since the wave spends as long negative as positive. That is precisely why an r.m.s. value is needed at all.
One line that never moves, one that never stops
Période, fréquence et valeur de crête
- Un courant alternatif 交流电 change constamment de direction; le secteur est sinusoïdal 正弦, donc $I$ et $V$ suivent des ondes sinusoïdales dans le temps.
- La période $T$ est le temps nécessaire à un cycle complet. La fréquence $f$ est le nombre de cycles complets par unité de temps, donc $f = 1/T$.
- La valeur crête est la valeur maximale du courant ou de la tension dans un cycle. Ces trois phrases constituent les formulations marquées.
- La valeur moyenne sur un cycle complet est nulle, car l'onde passe autant de temps en négatif qu'en positif. C'est précisément pour cela qu'une valeur efficace (r.m.s.) est indispensable.
Une ligne qui ne bouge jamais, une ligne qui ne s'arrête jamais
Alternating current · Courant alternatif
I = a sin(bt)
AC is a sine · sinusoïdale wave — amplitude is the peak, b sets the frequency. · CA est une onde sinusoïdale — l'amplitude est le pic, b définit la fréquence.
An alternating current: · Un courant alternatif :
a.c. keeps swapping direction — mains does so 50 (or 60) times a second. · Le c.a. change constamment de direction — le secteur le fait 50 (ou 60) fois par seconde.
Match each term to the definition the examiner marks. · Reliez chaque terme à la définition marquée par l'examinateur.
Each is a fixed wording. The r.m.s. one is the only definition that mentions another current, because that is what it compares itself to. · Chacun est un libellé fixe. Le terme efficace est la seule définition qui mentionne un autre courant, car c'est à cela qu'il se compare.
Reading the equation
- A supply is written $V = V_0 \sin(\omega t)$. The number in front is the peak value; the number multiplying $t$ is the angular frequency 角频率 $\omega = 2\pi f$.
- So $f = \omega / 2\pi$ and $T = 1/f$. The angle $\omega t$ is in radians 弧度, so put the calculator in radians before evaluating anything.
- A supply written with $\cos$ is the same wave started at its peak rather than at zero.
Lecture de l'équation
- Une source est écrite $V = V_0 \sin(\omega t)$. Le nombre placé devant est la valeur crête ; le nombre multipliant $t$ est la fréquence angulaire 角频率 $\omega = 2\pi f$.
- Donc $f = \omega / 2\pi$ et $T = 1/f$. L'angle $\omega t$ est en radians 弧度, donc placez votre calculatrice en mode radians avant d'exécuter quoi que ce soit.
- Une source écrite avec $\cos$ correspond à la même onde mais démarrant à son pic plutôt qu'à zéro.
In $V = V_0\sin(\omega t)$ the coefficient of $t$ is the ____ frequency, equal to $2\pi f$. · Dans $V = V_0\sin(\omega t)$, le coefficient de $t$ est la fréquence ____ égale à $2\pi f$.
omega is 2pif, so a supply written sin(100pit) has f = 50 Hz, not 100pi Hz. The angle is in radians, so a calculator left in degrees turns every such step into nonsense. · omega vaut 2pif, donc une alimentation écrite sin(100pit) a f = 50 Hz, pas 100pi Hz. L'angle est en radians, donc une calculatrice laissée en degrés transforme chaque étape en nonsens.
Worked example: unpacking a supply equation
- A supply has $V = 320\sin(100\pi t)$, with $V$ in volts and $t$ in seconds. Find the peak value, frequency, period and r.m.s. voltage, and the first time after $t = 0$ at which $V = 160\ \text{V}$.
- Peak: $V_0 = 320\ \text{V}$. Angular frequency: $\omega = 100\pi\ \text{rad/s}$, so $f = 100\pi / 2\pi = 50\ \text{Hz}$ and $T = 1/50 = 0.020\ \text{s}$.
- $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$.
- For $V = 160\ \text{V}$: $\sin(100\pi t) = 0.5$, so $100\pi t = \pi/6$ and $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. In degrees mode this last step gives nonsense.
Exemple résolu : décryptage d'une équation de source
- Une source a $V = 320\sin(100\pi t)$, avec $V$ en volts et $t$ en secondes. Trouvez la valeur crête, la fréquence, la période et la tension efficace, ainsi que le premier instant après $t = 0$ où $V = 160\ \text{V}$.
- Crête : $V_0 = 320\ \text{V}$. Fréquence angulaire : $\omega = 100\pi\ \text{rad/s}$, donc $f = 100\pi / 2\pi = 50\ \text{Hz}$ et $T = 1/50 = 0.020\ \text{s}$.
- $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$.
- Pour $V = 160\ \text{V}$ : $\sin(100\pi t) = 0.5$, donc $100\pi t = \pi/6$ et $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. En mode degrés, cette dernière étape donne un résultat absurde.
Mains supply is $50\ \text{Hz}$. What is its period? · Alimentation secteur est $50\ \text{Hz}$. Quelle est sa période ?
$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0.020\ \text{s}$.
Reading a CRO trace
- A cathode-ray oscilloscope 示波器 is read exactly as in Topic 7.
- Horizontal: count the divisions for one full cycle and multiply by the time-base 时基 setting. That gives $T$, and $f = 1/T$.
- Vertical: count the divisions from the centre line to a peak and multiply by the $y$-gain. That gives $V_0$. Measuring peak to peak and halving is usually more accurate, because the centre line is easy to misjudge.
Lecture d'un tracé sur oscilloscope
- Un oscilloscope à rayons cathodiques 示波器 se lit exactement comme dans le Sujet 7.
- Horizontal : comptez les divisions pour un cycle complet et multipliez par le réglage de la base de temps 时基. Cela donne $T$, et $f = 1/T$.
- Vertical : comptez les divisions depuis la ligne centrale jusqu'à un pic et multipliez par le gain en $y$. Cela donne $V_0$. Mesurer de crête à crête et diviser par deux est généralement plus précis, car la ligne centrale est facile à mal évaluer.
On a CRO trace one complete cycle spans 4.0 divisions with the time-base at 5.0 ms per division. What is the frequency, in Hz? · Sur un oscillogramme, un cycle complet occupe 4.0 divisions avec la base de temps réglée à 5.0 ms par division. Quelle est la fréquence, en Hz ?
T = 4.0 x 5.0 ms = 20 ms, so f = 1/0.020 = 50 Hz. Count divisions for a WHOLE cycle, not a half. · T = 4.0 × 5.0 ms = 20 ms, donc f = 1/0.020 = 50 Hz. Comptez les divisions pour un cycle COMPLET, pas une demi-onde.
Power in a resistor
- For a resistive load the instantaneous power is $P = I^2 R$, and with $I = I_0\sin(\omega t)$:
- This is always positive, since the current is squared, so a reversing current still heats the resistor. It pulses between zero and $I_0^2 R$ at twice the frequency of the current.
- The mean of $\sin^2$ over a cycle is $\tfrac{1}{2}$, so the average power is half the peak power.
Twice the frequency, and never negative
Puissance dans une résistance
- Pour une charge résistive, la puissance instantanée est $P = I^2 R$, et avec $I = I_0\sin(\omega t)$ :
- Elle est toujours positive, car le courant est au carré, donc un courant inversé chauffe tout de même la résistance. Elle pulse entre zéro et $I_0^2 R$ à une double fréquence du courant.
- La moyenne de $\sin^2$ sur un cycle est $\tfrac{1}{2}$, donc la puissance moyenne est la moitié de la puissance crête.
Double fréquence, et jamais négative
The average power of a.c. in a resistor is ____ the peak power. · La puissance moyenne d'un c.a. dans une résistance est ____ la puissance de crête.
The mean of $\sin^{2}$ over a cycle is $\tfrac{1}{2}$, so $\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}P_{\text{peak}}$. · La moyenne de $\sin^{2}$ sur un cycle est $\tfrac{1}{2}$, donc $\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}P_{\text{peak}}$.
Worked example: showing it is half
- A supply of peak voltage $12\ \text{V}$ drives a $680\ \Omega$ resistor. Show by calculation that the mean power is half the peak power.
- Peak power, at the instant the voltage is at its peak: $P_0 = V_0^2/R = 12^2/680 = 0.212\ \text{W}$.
- Mean power, through the r.m.s. value: $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$, so $\langle P\rangle = V_{\text{r.m.s.}}^2/R = 8.49^2/680 = 0.106\ \text{W}$.
- The two are shown separately, and the second is half the first. Writing "half of $0.212$" scores nothing, because that is the very thing being shown.
- The factor $\tfrac{1}{2}$ is just $(1/\sqrt{2})^2$: the r.m.s. factor, squared.
Exemple résolu : démonstration que c'est la moitié
- Une source de tension crête $12\ \text{V}$ alimente une résistance de $680\ \Omega$. Montrez par le calcul que la puissance moyenne est la moitié de la puissance crête.
- Puissance crête, à l'instant où la tension est à son maximum : $P_0 = V_0^2/R = 12^2/680 = 0.212\ \text{W}$.
- Puissance moyenne, via la valeur efficace : $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$, donc $\langle P\rangle = V_{\text{r.m.s.}}^2/R = 8.49^2/680 = 0.106\ \text{W}$.
- Les deux sont présentées séparément, et la seconde est la moitié de la première. Écrire « la moitié de $0.212$ » ne rapporte aucun point, car c'est précisément ce qu'il faut démontrer.
- Le facteur $\tfrac{1}{2}$ n'est autre que $(1/\sqrt{2})^2$ : le facteur efficace, au carré.
What r.m.s. actually means
- The r.m.s. value of an alternating current is the value of the direct (steady) current that would dissipate the same mean power in the same resistor. That sentence is the two-mark definition, and "by reference to the heating effect" is asking for exactly it.
- From $\langle P\rangle = I_{\text{r.m.s.}}^2 R = \tfrac{1}{2}I_0^2 R$ it follows that, for a sine wave:
- A definition that says only "$I_0/\sqrt{2}$" scores nothing, because that formula holds for a sine wave alone.
- Quoted a.c. values are r.m.s. values, which settles the opening puzzle: $230\ \text{V}$ mains has $V_0 = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$, and components must be rated for the peak.
One dashed line that does the same heating
Ce que signifie réellement la valeur efficace
- La valeur efficace d'un courant alternatif est la valeur du courant continu (constant) qui dissiperait la même puissance moyenne dans la même résistance. Cette phrase est la définition notée sur deux points, et « en se référant à l'effet de chauffage » demande exactement cela.
- De $\langle P\rangle = I_{\text{r.m.s.}}^2 R = \tfrac{1}{2}I_0^2 R$ il découle que, pour une onde sinusoïdale :
- Une définition disant uniquement « $I_0/\sqrt{2}$ » ne rapporte aucun point, car cette formule ne s'applique qu'à une onde sinusoïdale.
- Les valeurs c.a. citées sont des valeurs efficaces, ce qui résout l'énigme initiale : le secteur $230\ \text{V}$ a une crête de $V_0 = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$, et les composants doivent être dimensionnés pour la crête.
Une ligne pointillée qui produit le même chauffage
An a.c. has a peak current of $2.0\ \text{A}$. What is the r.m.s. current? · Un c.a. a un courant maximal de $2.0\ \text{A}$. Quel est le courant efficace ?
$I_{\text{rms}} = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{2.0}{\sqrt{2}} \approx 1.41\ \text{A}$.
A 230 V (r.m.s.) mains supply has a peak voltage of about 325 V. · Une alimentation secteur 230 V (valeur efficace) a une tension de crête d'environ 325 V.
$V_0 = V_{\text{rms}}\sqrt{2} = 230 \times \sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$ — components must be rated for the peak. · $V_0 = V_{\text{rms}}\sqrt{2} = 230 \times \sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$ — les composants doivent être calibrés pour la valeur de crête.
Which statements belong in the definition of an r.m.s. current? Select all · tout that apply. · Quelles affirmations appartiennent à la définition d'un courant efficace ? Sélectionnez toutes les réponses applicables.
The last one is a consequence for a sine wave, not the definition. A definition giving only I0/sqrt(2) scores nothing, because it is false for any other waveform. · Le dernier point est une conséquence pour une onde sinusoïdale, pas la définition. Une définition donnant uniquement I0/sqrt(2) ne rapporte aucun point, car c'est faux pour tout autre signal.
Worked example: a wave that is not a sine
- A current is $+2.0\ \text{A}$ for the first half of each cycle and $-1.0\ \text{A}$ for the second half. Find its r.m.s. value and the mean power in a $10\ \Omega$ resistor.
- Take the name literally. Square: $4.0\ \text{A}^2$ for half the time, $1.0\ \text{A}^2$ for the other half. Mean: $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^2$. Root: $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$.
- Mean power $= I_{\text{r.m.s.}}^2 R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$.
- The sign of the current never matters, because it is squared away. And $I_0/\sqrt{2}$ would have given $1.4\ \text{A}$, which is wrong: that shortcut is for sine waves only.
Exemple résolu : une onde qui n'est pas sinusoïdale
- Un courant vaut $+2.0\ \text{A}$ pendant la première moitié de chaque cycle et $-1.0\ \text{A}$ pendant la seconde. Trouvez sa valeur efficace et la puissance moyenne dans une résistance de $10\ \Omega$.
- Prenez le nom littéralement. Carré : $4.0\ \text{A}^2$ pendant la moitié du temps, $1.0\ \text{A}^2$ pour l'autre moitié. Moyenne : $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^2$. Racine : $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$.
- Puissance moyenne $= I_{\text{r.m.s.}}^2 R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$.
- Le signe du courant n'a jamais d'importance, car il est mis au carré. Et $I_0/\sqrt{2}$ aurait donné $1.4\ \text{A}$, ce qui est faux : ce raccourci ne s'applique qu'aux ondes sinusoïdales.
Put the steps for finding the r.m.s. value of a non-sinusoidal current in order. · Placez les étapes pour trouver la valeur efficace d'un courant non sinusoïdal dans l'ordre.
Root-mean-square, read backwards. For a square wave of +2.0 A and -1.0 A the mean square is 2.5 A^2 and the r.m.s. is 1.6 A, not the 1.4 A that I0/sqrt(2) would give. · Racine carrée de la moyenne quadratique, lue à l'envers. Pour une onde carrée de +2.0 A et -1.0 A, le carré moyen est 2.5 A^2 et la valeur efficace est 1.6 A, et non les 1.4 A que donnerait I0/sqrt(2).
Marks that slip away
- The r.m.s. definition is about the same power in the same resistor, not about dividing by $\sqrt{2}$. Quote the sentence, not the formula.
- "Show that the mean power is half the peak" needs two separate calculations. Halving the first one is circular.
- Put the calculator in radians before evaluating $\sin(\omega t)$.
- $\omega$ is not the frequency. Divide by $2\pi$ first.
- The mean current over a cycle is zero; the mean power is not, because power depends on $I^2$.
Pièges qui font perdre des points
- La définition de la valeur efficace concerne la même puissance dans la même résistance, et non le fait de diviser par $\sqrt{2}$. Citez la phrase, pas la formule.
- « Montrez que la puissance moyenne est la moitié de la crête » nécessite deux calculs séparés. Diviser le premier par deux serait circulaire.
- Placez la calculatrice en mode radians avant d'évaluer $\sin(\omega t)$.
- $\omega$ n'est pas la fréquence. Divisez d'abord par $2\pi$.
- Le courant moyen sur un cycle est nul ; la puissance moyenne ne l'est pas, car la puissance dépend de $I^2$.
You've got it
- period is the time for one complete cycle, frequency the number of complete cycles per unit time, peak value the maximum in a cycle
- in $V = V_0\sin(\omega t)$ the coefficient of $t$ is $\omega = 2\pi f$, and the angle is in radians
- the power in a resistor pulses at twice the frequency and is never negative, so the mean power is half the peak power
- the r.m.s. value is the steady direct current dissipating the same mean power in the same resistor; only for a sine wave is it $I_0/\sqrt{2}$
Vous avez compris
- période est le temps pour un cycle complet, fréquence le nombre de cycles complets par unité de temps, valeur crête le maximum dans un cycle
- dans $V = V_0\sin(\omega t)$ le coefficient de $t$ est $\omega = 2\pi f$, et l'angle est en radians
- la puissance dans une résistance pulse à une double fréquence et est jamais négative, donc la puissance moyenne est la moitié de la puissance crête
- la valeur efficace (r.m.s.) est le courant continu constant dissipant la même puissance moyenne dans la même résistance ; seule une onde sinusoïdale lui vaut $I_0/\sqrt{2}$