Kinetic theory of gases · Théorie cinétique des gaz
| English | Français |
|---|---|
| kinetic theory/kɪˈnetɪk ˈθɪəri/ | théorie cinétique |
| random motion/ˈrændəm ˈməʊʃn/ | mouvement aléatoire |
| elastic/ɪˈlæstɪk/ | élastique |
| momentum/məʊˈmentəm/ | quantité de mouvement |
| mean-square speed/miːn skweə spiːd/ | vitesse quadratique moyenne |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | vitesse quadratique moyenne |
| average translational kinetic energy/ˈævrɪdʒ trænˈsleɪʃənl kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | énergie cinétique de translation moyenne |
Pressure is a drum roll, not a push
- A balloon feels like it is being pushed steadily outwards. Nothing is pushing steadily. Molecules are striking the rubber at random, each blow lasting a fraction of a nanosecond.
- There are so many blows, so close together, that the average is perfectly smooth. Pressure is a drum roll heard from far enough away that the individual beats disappear.
- Taking that picture seriously, and applying nothing but Newton's laws to it, produces the gas laws from scratch and reveals what temperature actually is.
- This lesson is the assumptions of kinetic theory 分子动理论, the pressure derivation, r.m.s. speed and the meaning of temperature.
La pression est un roulement de tambour, pas une poussée
- Un ballon semble subissant une poussée régulière vers l'extérieur. Rien ne pousse régulièrement. Les molécules heurtent le caoutchouc aléatoirement, chaque coup ne durant qu'une fraction de nanoseconde.
- Il y a tant de coups, si rapprochés, que la moyenne est parfaitement lisse. La pression est un roulement de tambour entendu de loin assez pour que les coups individuels disparaissent.
- En prenant cette image au sérieux, et en n'appliquant que les lois de Newton, on obtient les lois des gaz à partir de zéro et on révèle ce qu'est vraiment la température.
- Cette leçon traite des hypothèses de la théorie cinétique 分子动理论, de la démonstration de la pression, de la vitesse quadratique moyenne et du sens de la température.
The assumptions
- A large number of identical molecules in continuous random motion 无规则运动.
- The molecules' own volume is negligible compared with the volume of the gas.
- There are no forces between molecules except during collisions, so they travel in straight lines between them.
- Collisions are perfectly elastic 弹性, losing no kinetic energy, and the time of a collision is negligible compared with the time between collisions. Newton's laws apply throughout.
- These fail at very high pressure, where molecular volume matters, and at very low temperature, where intermolecular forces matter.
Les hypothèses
- Un grand nombre de molécules identiques en mouvement aléatoire continu 无规则运动.
- Le volume propre des molécules est négligeable comparé au volume du gaz.
- Il n'y a aucune force entre les molécules sauf lors des collisions, elles se déplacent donc en lignes droites entre celles-ci.
- Les collisions sont parfaitement élastiques 弹性, sans perte d'énergie cinétique, et la durée d'une collision est négligeable par rapport au temps entre les collisions. Les lois de Newton s'appliquent tout au long.
- Elles échouent à très haute pression, où le volume des molécules devient significatif, et à très basse température, où les forces intermoléculaires deviennent importantes.
Select all · tout the assumptions of the kinetic theory of an ideal gas. · Sélectionnez toutes les hypothèses de la théorie cinétique d'un gaz idéal.
Forces between molecules are ignored except during (elastic) collisions — they do not attract strongly at all times. · Les forces entre molécules sont ignorées sauf lors des collisions (élastiques) — elles ne s'attirent pas fortement en tout temps.
Deriving the pressure
- Take a cube of side $L$ holding $N$ molecules of mass $m$, and follow one moving along $x$ with velocity $u_1$.
- One collision with the right wall reverses its velocity, so its momentum 动量 changes by $-2mu_1$ and, by Newton's third law, the wall receives $+2mu_1$.
- Between hits on that wall it travels $2L$, so $\Delta t = 2L/u_1$, giving an average force $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- Summing over all molecules and dividing by the wall area $L^2$ gives $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. In three dimensions, symmetry means $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, so:
One molecule, one wall, then multiply up
Dérivation de la pression
- Prendre un cube de côté $L$ contenant $N$ molécules de masse $m$, et suivre une particule se déplaçant selon $x$ avec une vitesse $u_1$.
- Une collision avec le mur droit inverse sa vitesse, donc sa quantité de mouvement 动量 change de $-2mu_1$ et, par la troisième loi de Newton, le mur reçoit $+2mu_1$.
- Entre les impacts sur ce mur, il parcourt $2L$, donc $\Delta t = 2L/u_1$, donnant une force moyenne $F_1 = \Delta p/\Delta t = mu_1^2/L$.
- Sommer sur toutes les molécules et diviser par la surface du mur $L^2$ donne $p = Nm\langle u_x^2\rangle / V$. En trois dimensions, la symétrie signifie $\langle u_x^2\rangle = \tfrac13\langle c^2\rangle$, donc :
Une molécule, un mur, puis multiplier
Boyle's law · Loi de Boyle
p ∝ 1/V
At constant temperature, pressure is inversely proportional to volume — squash the gas and the pressure rises. · À température constante, la pression est inversement proportionnelle au volume — comprimez le gaz et la pression augmente.
A gas exerts pressure on its container because the molecules: · Un gaz exerce une pression sur son récipient parce que les molécules :
Each collision pushes on the wall; the combined effect of countless collisions is the pressure. · Chaque collision pousse contre la paroi ; l'effet combiné de countless collisions est la pression.
Worked example: explain the pressure in words
- Explain how molecular movement causes the pressure exerted by a gas. [3]
- The molecules move randomly and collide with the walls of the container.
- At each collision a molecule rebounds, so its momentum changes; by Newton's second law the wall exerts a force on it, and by the third law it exerts an equal and opposite force on the wall.
- There are very many collisions each second, so the individual impulses average to a steady total force, and pressure is that force divided by the area.
- Three sentences, three marks. The middle one must name both of Newton's laws to earn its mark.
Exemple résolu : expliquer la pression en mots
- Expliquez comment le mouvement moléculaire provoque la pression exercée par un gaz. [3]
- Les molécules se déplacent de manière aléatoire et entrent en collision avec les parois du récipient.
- À chaque collision, une molécule rebondit, donc sa quantité de mouvement change ; par la deuxième loi de Newton, le mur exerce une force dessus, et par la troisième loi, elle exerce une force égale et opposée sur le mur.
- Il y a très nombreuses collisions par seconde, donc les impulsions individuelles moyennent pour former une force totale constante, et la pression est cette force divisée par la surface.
- Trois phrases, trois points. La phrase du milieu doit citer les deux lois de Newton pour obtenir son point.
Put the three-mark explanation of gas pressure in order. · Mettez l'explication de trois points sur la pression des gaz dans l'ordre.
Random motion, momentum change with both of Newton's laws, the averaging over many collisions, then force per area. · Mouvement aléatoire, changement de quantité de mouvement avec les deux lois de Newton, moyenne sur beaucoup de collisions, puis force par unité de surface.
The density form
- $Nm$ is the total mass of the gas, so $Nm/V$ is its density $\rho$. The same result reads:
- Use this version whenever a question gives a density instead of $N$ and $m$, which it often does.
La forme de la densité
- $Nm$ est la masse totale du gaz, donc $Nm/V$ est sa densité $\rho$. Le même résultat s'écrit :
- Utiliser cette version chaque fois qu'une question donne une densité au lieu de $N$ et $m$, ce qui arrive souvent.
Root-mean-square speed
- $\langle c^2 \rangle$ is the mean-square speed 均方速率: square each molecule's speed, then average. Its square root is the root-mean-square 均方根 speed:
- It is a single useful measure of molecular speed, slightly larger than the mean speed because squaring weights the fast molecules more heavily.
- The molecules do not all move at this speed. They have a wide spread, and raising the temperature shifts the whole spread to higher speeds.
A distribution, of which the r.m.s. speed is one summary
Vitesse quadratique moyenne
- $\langle c^2 \rangle$ est la vitesse quadratique moyenne 均方速率 : carrer la vitesse de chaque molécule, puis faire la moyenne. Sa racine carrée est la vitesse racine de la moyenne des carrés 均方根 :
- C'est une mesure unique utile de la vitesse moléculaire, légèrement supérieure à la vitesse moyenne car le carrage pondère davantage les molécules rapides.
- Les molécules ne se déplacent pas toutes à cette vitesse. Elles ont une large répartition, et l'élévation de la température déplace toute cette répartition vers des vitesses plus élevées.
Une distribution dont la vitesse q.m. est un résumé
The r.m.s. speed is the square root of the ____ speed. · La vitesse quadratique moyenne est la racine carrée de la vitesse ____.
Take the mean of the squared speeds, then square-root it: $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$. · Prenez la moyenne des vitesses au carré, puis tirez la racine carrée : $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^{2}\rangle}$.
How is the root-mean-square speed calculated from a set of molecular speeds? · Comment calcule-t-on la vitesse quadratique moyenne à partir d'un ensemble de vitesses moléculaires ?
Square, average, root, in that order. Squaring first weights the fast molecules more, which is why c_rms is slightly larger than the mean speed. · Carré, moyenne, racine, dans cet ordre. Mettre au carré en premier pondère davantage les molécules rapides, c'est pourquoi c_rms est légèrement supérieur à la vitesse moyenne.
Worked example: r.m.s. speed from a density
- An ideal gas at a pressure of $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ has a density of $1.9\ \text{kg/m}^3$. Show that the r.m.s. speed of its molecules is about $500\ \text{m/s}$.
- From $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$: $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- Then $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- In a "show that", carry an extra significant figure and quote it (503) before comparing with the value given. Rounding to 500 first proves nothing.
Exemple résolu : vitesse q.m. à partir d'une densité
- Un gaz idéal à une pression de $1.6 \times 10^5\ \text{Pa}$ a une densité de $1.9\ \text{kg/m}^3$. Montrer que la vitesse rms de ses molécules est d'environ $500\ \text{m/s}$.
- À partir de $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ : $\langle c^2 \rangle = \dfrac{3p}{\rho} = \dfrac{3 \times 1.6 \times 10^5}{1.9} = 2.53 \times 10^5\ \text{m}^2\text{/s}^2$.
- Puis $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.53 \times 10^5} = 503\ \text{m/s} \approx 500\ \text{m/s}$.
- Dans un « montrez que », conservez un chiffre significatif supplémentaire et citez-le (503) avant de comparer avec la valeur donnée. Arrondir à 500 d'abord ne prouve rien.
An ideal gas at 1.6 x 10^5 Pa has density 1.9 kg/m^3. What is the r.m.s. speed of its molecules, in m/s? · Un gaz parfait à 1.6 x 10^5 Pa a une densité de 1.9 kg/m^3. Quelle est la vitesse quadratique moyenne de ses molécules, en m/s ?
Use p = rho <c^2>/3, so <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 and c_rms = 503 m/s. In a 'show that' question, quote the extra figure before rounding. · Utilisez p = rho <c^2>/3, donc <c^2> = 3p/rho = 2.53e5 et c_rms = 503 m/s. Dans une question de type « montrer que », citez la valeur supplémentaire avant d'arrondir.
What temperature actually is
- Two expressions for the same $pV$: $pV = NkT$ from the equation of state, and $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ from kinetic theory. Set them equal, cancel $N$ and multiply by $\tfrac32$:
- The left side is the average translational kinetic energy 平动动能 of one molecule. So temperature is a measure of average molecular kinetic energy, and nothing else.
- Two consequences the exam asks for. Double the absolute temperature and the average kinetic energy doubles, so $c_{\text{r.m.s.}}$ grows by $\sqrt{2}$. And at the same temperature, lighter molecules move faster, since $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ is the same for both.
Ce qu'est réellement la température
- Deux expressions pour le même $pV$ : $pV = NkT$ issu de l'équation d'état, et $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$ issu de la théorie cinétique. Les égaliser, simplifier $N$ et multiplier par $\tfrac32$ :
- Le membre de gauche est l'énergie cinétique de translation moyenne 平动动能 d'une molécule. Donc la température est une mesure de l'énergie cinétique moléculaire moyenne, et rien d'autre.
- Deux conséquences demandées par l'examen. Doubler la température absolue et l'énergie cinétique moyenne double, donc $c_{\text{r.m.s.}}$ augmente de $\sqrt{2}$. Et à la même température, les molécules plus légères se déplacent plus vite, car $\tfrac12 m\langle c^2\rangle$ est identique pour les deux.
The average translational kinetic energy of a gas molecule depends only on: · L'énergie cinétique de translation moyenne d'une molécule de gaz dépend uniquement :
$\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — only the thermodynamic temperature matters. · $\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ — seule la température thermodynamique compte.
If the absolute temperature doubles, the r.m.s. speed grows by a factor of: · Si la température absolue double, la vitesse quadratique moyenne augmente d'un facteur :
$\langle c^{2}\rangle \propto T$, so $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — doubling $T$ multiplies it by $\sqrt{2} \approx 1.41$. · $\langle c^{2}\rangle \propto T$, donc $c_{\text{r.m.s.}} \propto \sqrt{T}$ — doubler $T$ multiplie par $\sqrt{2} \approx 1.41$.
At the same temperature, lighter molecules move faster on average than heavier ones. · À même température, les molécules plus légères se déplacent en moyenne plus vite que les plus lourdes.
Same average KE $\tfrac{3}{2}kT$, but smaller mass means a larger $\langle c^{2}\rangle$ — so lighter molecules are faster. · Même énergie cinétique moyenne $\tfrac{3}{2}kT$, mais masse plus petite signifie une vitesse plus grande $\langle c^{2}\rangle$ — donc les molécules légères sont plus rapides.
Comparing pV = NkT with pV = Nm<c^2>/3 shows that the average translational kinetic energy of a molecule equals ____ kT. · En comparant pV = NkT avec pV = Nm<c^2>/3, on voit que l'énergie cinétique de translation moyenne d'une molécule est égale à ____ kT.
So temperature is a direct measure of average molecular kinetic energy, and the internal energy of an ideal gas is (3/2)nRT. · Ainsi, la température est une mesure directe de l'énergie cinétique moléculaire moyenne, et l'énergie interne d'un gaz idéal est (3/2)nRT.
Internal energy of an ideal gas
- An ideal gas has no forces between molecules, so there is no molecular potential energy: its internal energy is entirely kinetic.
- Multiplying the average kinetic energy by the number of molecules:
- So the internal energy of an ideal gas depends only on its temperature, not on its pressure or volume. That single fact does most of the work in the next lesson.
Énergie interne d'un gaz parfait
- Un gaz parfait n'a aucune force entre les molécules, donc il n'y a pas d'énergie potentielle moléculaire : son énergie interne est entièrement cinétique.
- Multiplier l'énergie cinétique moyenne par le nombre de molécules :
- L'énergie interne d'un gaz parfait dépend donc uniquement de sa température, pas de sa pression ou de son volume. Cette seule propriété fait la majeure partie du travail dans la leçon suivante.
The internal energy of an ideal gas equals: · L'énergie interne d'un gaz idéal est égale à :
Ideal-gas molecules have only kinetic energy, so $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — proportional to $T$. · Les molécules de gaz idéal n'ont que de l'énergie cinétique, donc $U = \tfrac{3}{2}NkT = \tfrac{3}{2}nRT$ — proportionnelle à $T$.
Marks that slip away
- The r.m.s. speed is the square root of the mean of the squares, not the mean speed. Order matters: square, average, then root.
- Average kinetic energy depends on temperature alone. Two different gases at the same temperature have the same average molecular kinetic energy.
- $T$ doubling makes $c_{\text{r.m.s.}}$ grow by $\sqrt{2}$, not by 2. The energy is proportional to $T$, so the speed goes as $\sqrt{T}$.
- An "explain the pressure" answer needs the momentum change, both of Newton's laws, and the very many collisions per second.
Pièges qui font perdre des points
- La vitesse q.m. est la racine carrée de la moyenne des carrés, pas la vitesse moyenne. L'ordre compte : élevez au carré, faites la moyenne, puis prenez la racine.
- L'énergie cinétique moyenne dépend uniquement de la température. Deux gaz différents à la même température ont la même énergie cinétique moléculaire moyenne.
- La multiplication de $T$ fait croître $c_{\text{r.m.s.}}$ de $\sqrt{2}$, pas de 2. L'énergie est proportionnelle à $T$, donc la vitesse varie comme $\sqrt{T}$.
- Une réponse « expliquez la pression » nécessite le changement de quantité de mouvement, les deux lois de Newton, et les très nombreuses collisions par seconde.
You've got it
- assumptions: many identical molecules in random motion, negligible molecular volume, no forces except in collisions, elastic collisions of negligible duration, Newton's laws apply
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, or $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ when a density is given; pressure is momentum change at the walls, averaged over very many collisions
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, one summary of a wide spread of speeds
- comparing with $pV = NkT$ gives $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$: temperature is average molecular kinetic energy, so $U = \tfrac32 nRT$ depends on temperature alone
Vous avez compris
- hypothèses : beaucoup de molécules identiques en mouvement aléatoire, volume moléculaire négligeable, aucune force sauf lors des collisions, collisions élastiques de durée négligeable, application des lois de Newton
- $pV = \tfrac13 Nm\langle c^2\rangle$, ou $p = \tfrac13\rho\langle c^2\rangle$ lorsqu'une densité est donnée ; la pression est le changement de quantité de mouvement aux parois, moyenné sur un très grand nombre de collisions
- $c_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle c^2\rangle}$, une synthèse d'une large gamme de vitesses
- comparer avec $pV = NkT$ donne $\tfrac12 m\langle c^2\rangle = \tfrac32 kT$ : la température est l'énergie cinétique moléculaire moyenne, donc $U = \tfrac32 nRT$ dépend uniquement de la température