The ideal gas equation · L'équation des gaz parfaits
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|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | volume |
| pressure/ˈpreʃə/ | pression |
| equation of state/ɪˈkweɪʒn ɒv steɪt/ | équation des gaz parfaits |
| ideal gas/aɪˈdɪəl ɡæs/ | gaz parfait |
| thermodynamic temperature/ˌθɜːməʊdaɪˈnæmɪk ˈtemprɪtʃə/ | température thermodynamique |
| molar gas constant/ˈməʊlə ɡæs ˈkɒnstənt/ | constante molaire des gaz |
| Boltzmann constant/ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | constante de Boltzmann |
| Boyle's law/bɔɪlz lɔː/ | Loi de Boyle |
| Charles's law/ˈtʃɑːlzɪz lɔː/ | Loi de Charles |
| pressure law/ˈpreʃə lɔː/ | loi de Gay-Lussac |
The tank that must not be filled at noon
- A scuba tank is filled to 200 bar on a cool morning and left in a car in the sun. Nothing is added and nothing escapes, yet by afternoon the gauge reads far higher.
- The gas has not changed. Its temperature has, and for a fixed amount in a fixed volume, pressure and temperature move together in strict proportion.
- Divers are taught this as a safety rule. The exam asks for it as an equation, and one equation covers every case of it.
- This lesson is the equation of state 状态方程 $pV = nRT$, its per-molecule twin, and the three special cases that fall out of it.
Le réservoir qu'il ne faut pas remplir à midi
- Un réservoir de plongée est rempli à 200 bars un matin frais et laissé dans une voiture au soleil. Rien n'est ajouté et rien ne s'échappe, pourtant l'aiguille indique bien plus tard l'après-midi.
- Le gaz n'a pas changé. Sa température a changé, et pour une quantité fixe dans un volume fixe, pression et température varient strictement proportionnellement.
- Les plongeurs apprennent cela comme une règle de sécurité. L'examen le demande sous forme d'équation, et une seule équation couvre tous ses cas.
- Cette leçon porte sur l'équation d'état 状态方程 $pV = nRT$, son jumeau par molécule, et les trois cas particuliers qui en découlent.
What makes a gas ideal
- An ideal gas 理想气体 is one that obeys $pV \propto T$, where $T$ is the thermodynamic temperature 热力学温度, at all values of pressure, volume and temperature.
- The examiner's two-mark definition needs both halves: the relationship, and "at all values of $p$, $V$ and $T$". Stating the equation alone earns one.
- Real gases approach this behaviour at low pressure and high temperature, and depart from it when the molecules are crowded or slow.
Qu'est-ce qui rend un gaz idéal ?
- Un gaz idéal 理想气体 est celui qui obéit à $pV \propto T$, où $T$ est la température thermodynamique 热力学温度, à toutes les valeurs de pression, volume et température.
- La définition de deux points de l'examinateur nécessite les deux parties : la relation, et « à toutes les valeurs de $p$, $V$ et $T$ ». N'écrire que l'équation ne vaut qu'un point.
- Les gaz réels approchent ce comportement à basse pression et haute température, et s'en écartent lorsque les molécules sont serrées ou lentes.
A two-mark definition of an ideal gas needs which elements? Select all · tout that apply. · Une définition de deux points d'un gaz parfait nécessite quels éléments ? Sélectionnez tous ceux qui s'appliquent.
The relationship alone earns one mark; "at all values" earns the second. Being monatomic is not part of the definition. · La relation seule vaut une marque ; "à toutes valeurs" vaut la deuxième. Le fait d'être monoatomique ne fait pas partie de la définition.
The equation of state, both forms
- $p$ is the pressure 压强 in Pa, $V$ the volume 体积 in m³, $T$ the thermodynamic temperature in kelvin, never °C.
- $n$ is the number of moles and $R = 8.31\ \text{J/(mol K)}$ the molar gas constant 摩尔气体常量. $N$ is the number of molecules and $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ the Boltzmann constant 玻尔兹曼常量.
- The two forms are the same equation: since $N = nN_{\text{A}}$, it follows that $k = R/N_{\text{A}}$. Choose the form that matches the "amount" the question gives you: moles go with $R$, molecules with $k$.
A fixed amount in a fixed volume: only temperature is left to change the pressure
L'équation d'état, les deux formes
- $p$ est la pression 压强 en Pa, $V$ le volume 体积 en m³, $T$ la température thermodynamique en kelvin, jamais en °C.
- $n$ est le nombre de moles et $R = 8.31\ \text{J/(mol K)}$ la constante molaire des gaz 摩尔气体常量. $N$ est le nombre de molécules et $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ la constante de Boltzmann 玻尔兹曼常量.
- Les deux formes sont la même équation : puisque $N = nN_{\text{A}}$, on en déduit que $k = R/N_{\text{A}}$. Choisissez la forme qui correspond à la « quantité » donnée par l'énoncé : les moles vont avec $R$, les molécules avec $k$.
Une quantité fixe dans un volume fixe : seule la température peut encore modifier la pression
The equation of state of an ideal gas is: · L'équation d'état d'un gaz parfait est :
$pV = nRT$ (moles) or $pV = NkT$ (molecules) — with $T$ in kelvin. · $pV = nRT$ (moles) ou $pV = NkT$ (molécules) — avec $T$ en kelvin.
You may use temperature in °C in the ideal gas equation. · Vous pouvez utiliser la température en °C dans l'équation des gaz parfaits.
No — $pV \propto T$ only with $T$ in kelvin. Convert °C to K first. · Non — $pV \propto T$ uniquement avec $T$ en kelvin. Convertissez d'abord °C en K.
The Boltzmann constant equals $R / N_{\text{A}}$ — the gas constant per molecule. · La constante de Boltzmann vaut $R / N_{\text{A}}$ — la constante des gaz par molécule.
Since $N = n N_{\text{A}}$, comparing $pV = nRT$ with $pV = NkT$ gives $k = \dfrac{R}{N_{\text{A}}}$. · Puisque $N = n N_{\text{A}}$, comparer $pV = nRT$ à $pV = NkT$ donne $k = \dfrac{R}{N_{\text{A}}}$.
Worked example: how much gas is in the cylinder
- A cylinder of volume $0.020\ \text{m}^3$ holds gas at $27\ ^\circ\text{C}$ and a pressure of $2.0 \times 10^5\ \text{Pa}$. How many moles are there?
- Convert first: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. The volume and pressure are already in SI units.
- Rearrange and substitute:
- Convert to kelvin before anything else. Using 27 in place of 300 gives an answer eleven times too large, and it is the single commonest error in this topic.
Exemple résolu : combien de gaz y a-t-il dans le cylindre ?
- Un cylindre de volume $0.020\ \text{m}^3$ contient du gaz à $27\ ^\circ\text{C}$ et sous une pression de $2.0 \times 10^5\ \text{Pa}$. Combien y a-t-il de moles ?
- Convertissez d'abord : $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. Le volume et la pression sont déjà en unités SI.
- Réarrangez et substituez :
- Convertissez en kelvin avant toute autre opération. Utiliser 27 au lieu de 300 donne une réponse onze fois trop grande, c'est l'erreur la plus fréquente dans ce chapitre.
A cylinder of volume 0.020 m^3 holds gas at 27 degrees C and 2.0 x 10^5 Pa. How many moles are there? (R = 8.31) · Un cylindre de volume 0.020 m^3 contient un gaz à 27 degrés C et 2.0 x 10^5 Pa. Combien y a-t-il de moles ? (R = 8.31)
T must be 300 K, not 27. n = pV/RT = (2.0e5 x 0.020)/(8.31 x 300) = 1.6 mol. Using 27 gives an answer eleven times too large. · T doit être 300 K, et non 27. n = pV/RT = (2.0e5 x 0.020)/(8.31 x 300) = 1.6 mol. L'utilisation de 27 donne une réponse onze fois trop grande.
A fixed amount changing state
- If the amount of gas does not change, $nR$ is a constant, so $pV/T$ is the same before and after:
- Write down the six quantities, mark the one you want, and substitute. Any quantity that is unchanged cancels from both sides.
- Because it cancels, you do not need the volume in a constant-volume problem, nor the pressure in a constant-pressure one.
Une quantité fixe changeant d'état
- Si la quantité de gaz ne change pas, $nR$ est constant, donc $pV/T$ est identique avant et après :
- Écrivez les six quantités, marquez celle que vous cherchez, et substituez. Toute grandeur inchangée s'annule des deux côtés.
- Comme elle s'annule, vous n'avez pas besoin du volume dans un problème à volume constant, ni de la pression dans un problème à pression constante.
A gas at $200\ \text{kPa}$ and · et $300\ \text{K}$ is heated to $600\ \text{K}$ at constant volume. What is the new pressure? · Un gaz à $200\ \text{kPa}$ et $300\ \text{K}$ est chauffé jusqu'à $600\ \text{K}$ à volume constant. Quelle est la nouvelle pression ?
At constant volume $\dfrac{p}{T}$ is constant: $p_2 = 200 \times \dfrac{600}{300} = 400\ \text{kPa}$. · À volume constant $\dfrac{p}{T}$ est constant : $p_2 = 200 \times \dfrac{600}{300} = 400\ \text{kPa}$.
The three special cases
- Boyle's law 玻意耳定律, constant temperature: $pV$ is constant, so $p_1V_1 = p_2V_2$. Halve the volume and the pressure doubles.
- Charles's law 查理定律, constant pressure: $V/T$ is constant. Volume rises linearly with absolute temperature and extrapolates to zero at absolute zero.
- The pressure law 气体压强定律, constant volume: $p/T$ is constant. This is the scuba tank in the sun.
- All three are the same equation with one quantity held fixed. Learn the parent equation and derive the case you need.
The line points at absolute zero, which is what makes the kelvin scale the natural one
Les trois cas particuliers
- Loi de Boyle 玻意耳定律, température constante : $pV$ est constant, donc $p_1V_1 = p_2V_2$. Diviser le volume par deux double la pression.
- Loi de Charles 查理定律, pression constante : $V/T$ est constant. Le volume augmente linéairement avec la température absolue et tend vers zéro à zéro absolu.
- Loi des pressions 气体压强定律, volume constant : $p/T$ est constant. C'est le réservoir de plongée au soleil.
- Les trois sont la même équation avec une grandeur maintenue fixe. Apprenez l'équation parente et déduisez le cas dont vous avez besoin.
La ligne pointe vers zéro absolu, ce qui fait du kelvin l'échelle naturelle
The ideal gas (Boyle) · Les gaz parfaits (Boyle)
p = k / V
At constant temperature p ∝ 1/V — squeeze the volume and pressure rises. · À température constante p ∝ 1/V — on comprime le volume et la pression augmente.
At constant temperature, a gas at $100\ \text{kPa}$ is squeezed to half its volume. What is the new pressure? · À température constante, un gaz à $100\ \text{kPa}$ est comprimé à la moitié de son volume. Quelle est la nouvelle pression ?
Boyle: $pV$ is constant, so halving $V$ doubles $p$ → $200\ \text{kPa}$. · Boyle : $pV$ est constant, donc réduire $V$ de moitié double $p$ → $200\ \text{kPa}$.
At constant pressure, $V$ divided by $T$ stays ____. · À pression constante, $V$ divisé par $T$ reste ____.
That is Charles's law: $\dfrac{V}{T} =$ constant at fixed pressure. · C'est la loi de Charles : $\dfrac{V}{T} =$ constant à pression fixe.
Match each gas law to what is held constant and what stays constant. · Associez chaque loi des gaz à ce qui est maintenu constant et ce qui reste constant.
All three are the parent equation with one quantity fixed, so the fixed one cancels from p1V1/T1 = p2V2/T2. · Les trois sont l'équation parent avec une quantité fixée, donc la fixation s'annule dans p1V1/T1 = p2V2/T2.
Worked example: heating at constant pressure
- A fixed mass of gas at $300\ \text{K}$ occupies $0.50\ \text{m}^3$. It is heated to $450\ \text{K}$ at constant pressure. Find the new volume.
- Pressure is constant, so it cancels from $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, leaving $V/T$ constant.
- Both temperatures are already in kelvin here. Had they been in °C, the ratio would have been meaningless: $\tfrac{177}{27}$ is not $\tfrac{450}{300}$.
Exemple résolu : chauffage à pression constante
- Une masse fixe de gaz à $300\ \text{K}$ occupe $0.50\ \text{m}^3$. Elle est chauffée à $450\ \text{K}$ à pression constante. Trouvez le nouveau volume.
- La pression étant constante, elle s'annule dans $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, laissant $V/T$ constant.
- Ici, les deux températures sont déjà en kelvin. S'ils avaient été en °C, le rapport aurait été sans sens : $\tfrac{177}{27}$ n'est pas $\tfrac{450}{300}$.
A fixed mass of gas at 300 K occupies 0.50 m^3. It is heated to 450 K at constant pressure. What is the new volume in m^3? · Une masse fixe de gaz à 300 K occupe 0.50 m^3. Elle est chauffée à 450 K à pression constante. Quel est le nouveau volume en m^3 ?
Pressure cancels, leaving V/T constant: V2 = 0.50 x 450/300 = 0.75 m^3. The ratio only works because both temperatures are in kelvin. · La pression s'annule, laissant V/T constant : V2 = 0.50 x 450/300 = 0.75 m^3. Le rapport n'est valable que parce que les deux températures sont en kelvins.
Worked example: reading a p-V cycle
- A fixed amount of gas at temperature $T$ is in state X, with pressure $2p$ and volume $V$. It is cooled at constant volume to state Y at pressure $p$, then heated at constant pressure to state Z at volume $2V$.
- X to Y is at constant volume, so $p/T$ is constant. Halving the pressure halves the temperature: $T_{\text{Y}} = T/2$.
- Y to Z is at constant pressure, so $V/T$ is constant. Doubling the volume doubles the temperature: $T_{\text{Z}} = T$.
- On a $p$-$V$ diagram a vertical line is constant volume and a horizontal line is constant pressure, and $pV/T$ has the same value at every state on the cycle. That last fact is what lets you check your answers.
Exemple résolu : lecture d'un cycle p-V
- Une quantité fixe de gaz à la température $T$ est dans l'état X, avec une pression $2p$ et un volume $V$. Elle est refroidie à volume constant jusqu'à l'état Y à la pression $p$, puis chauffée à pression constante jusqu'à l'état Z au volume $2V$.
- X vers Y se fait à volume constant, donc $p/T$ est constant. Diviser la pression par deux divise la température par deux : $T_{\text{Y}} = T/2$.
- Y vers Z se fait à pression constante, donc $V/T$ est constant. Doubler le volume double la température : $T_{\text{Z}} = T$.
- Sur un diagramme $p$-$V$, une ligne verticale indique un volume constant et une ligne horizontale une pression constante, et $pV/T$ a la même valeur à tout état du cycle. Ce dernier fait permet de vérifier vos réponses.
A fixed amount of gas at temperature T, pressure 2p and volume V is cooled at constant volume to pressure p. What is its new temperature? · Une quantité fixe de gaz à température T, pression 2p et volume V est refroidie à volume constant jusqu'à la pression p. Quelle est sa nouvelle température ?
At constant volume p/T is constant, so halving the pressure halves the absolute temperature. On a p-V diagram this is a vertical line. · À volume constant, p/T est constant, donc diviser la pression par deux divise la température absolue par deux. Sur un diagramme p-V, c'est une ligne verticale.
Marks that slip away
- Kelvin, always. $T(\text{K}) = \theta(^\circ\text{C}) + 273$. This is the most-penalised error in the topic.
- Match the form to the amount: moles with $R$, molecules with $k$. Mixing them is out by $N_{\text{A}}$.
- The two-mark definition of an ideal gas needs "at all values of $p$, $V$ and $T$" as well as the relationship.
- Volumes in m³ and pressures in Pa. A volume in litres or a pressure in kPa must be converted first.
Pièges qui font perdre des points
- Kelvin, toujours. $T(\text{K}) = \theta(^\circ\text{C}) + 273$. C'est l'erreur la plus sévèrement pénalisée dans ce chapitre.
- Adaptez la forme à la quantité : moles avec $R$, molécules avec $k$. Les mélanger introduit une erreur de $N_{\text{A}}$.
- La définition de deux points d'un gaz idéal exige « à toutes les valeurs de $p$, $V$ et $T$ » ainsi que la relation.
- Volumes en m³ et pressions en Pa. Un volume en litres ou une pression en kPa doit être converti au préalable.
You've got it
- an ideal gas obeys $pV \propto T$ with $T$ thermodynamic, at all values of $p$, $V$ and $T$
- $pV = nRT$ with moles and $R$, or $pV = NkT$ with molecules and $k$, and $k = R/N_{\text{A}}$; temperature in kelvin and SI units throughout
- for a fixed amount, $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$, and anything held constant cancels
- the three cases: Boyle ($pV$ constant), Charles ($V/T$ constant), pressure law ($p/T$ constant)
Vous avez compris
- un gaz idéal obéit à $pV \propto T$ avec $T$ thermodynamique, à toutes les valeurs de $p$, $V$ et $T$
- $pV = nRT$ avec les moles et $R$, ou $pV = NkT$ avec les molécules et $k$, et $k = R/N_{\text{A}}$ ; température en kelvin et unités SI partout
- pour une quantité fixe, $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$, et tout ce qui est maintenu constant s'annule
- les trois cas : Boyle ($pV$ constant), Charles ($V/T$ constant), loi des pressions ($p/T$ constant)