Continuous random variables (Further) · Variables aléatoires continues (Avancé)
| English | Français |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | variable continue |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | fonction de densité de probabilité |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | espérance |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | fonction de répartition cumulative |
| median/ˈmiːdiːən/ | médiane |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | percentile |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | quartile |
Probability as area
- For a continuous variable 连续变量 — a height, a waiting time — no single exact value has a probability; there are infinitely many.
- Instead, probability is the area under a curve, the probability density function 概率密度函数 $f(x)$. The whole area is $1$.
Probabilité comme aire
- Pour une variable continue 连续变量 — une hauteur, un temps d'attente — aucune valeur exacte unique n'a de probabilité ; il y en a infiniment.
- Au contraire, la probabilité est l'aire sous une courbe, la fonction de densité de probabilité 概率密度函数 $f(x)$. L'aire totale est $1$.
The density function and expectation 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, and the total area $\int f = 1$.
- The mean of any function of $X$:
Probabilities are areas under f(x); the total area over the whole range is exactly 1.
La fonction de densité et l'espérance 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, et l'aire totale $\int f = 1$.
- La moyenne de toute fonction de $X$ :
Les probabilités sont des aires sous f(x) ; l'aire totale sur tout le domaine vaut exactement 1.
Continuous random variables · Variables aléatoires continues
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability · probabilité is the area · aire under the density curve. · Pour une variable continue, la probabilité est l'aire sous la courbe de densité.
What must the total area under a probability density function equal? · Quelle doit être l'aire totale sous une fonction de densité de probabilité ?
A pdf integrates to 1 over its whole range. · Une pdf intègre à 1 sur toute son étendue.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The CDF accumulates probability from the left:
- It runs from $0$ to $1$, and differentiating recovers the density: $f(x) = F'(x)$.
The CDF $F(x)$ rises from 0 to 1; the median is read off where it reaches a height of 0.5
La fonction de répartition cumulative 累积分布函数
- La CDF accumule la probabilité depuis la gauche :
- Elle varie de $0$ à $1$, et sa dérivée redonne la densité : $f(x) = F'(x)$.
La FDC $F(x)$ augmente de 0 à 1 ; la médiane se lit là où elle atteint une hauteur de 0.5
The cumulative distribution function F(x) gives: · La fonction de répartition F(x) donne :
F(x) = P(X ≤ x), the accumulated area up to x. · F(x) = P(X ≤ x), l'aire accumulée jusqu'à x.
Differentiating the CDF gives the density: f(x) = F-(x). · Dériver la FRP donne la densité : f(x) = F-(x).
f(x) = F′(x): the density is the derivative of the CDF. · f(x) = F′(x) : la densité est la dérivée de la FRP.
Worked example — the median 中位数
- The median $m$ splits the area in half: $F(m) = 0.5$.
- For $f(x) = \tfrac12 x$ on $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, so $\tfrac14 m^2 = 0.5$ gives $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Percentiles 百分位数 work the same way. The lower quartile 四分位数 solves $F(x) = 0.25$; the 90th percentile solves $F(x) = 0.9$. Always set $F$ equal to the fraction you want.
Exemple résolu — la médiane 中位数
- La médiane $m$ partage l'aire en deux parties égales : $F(m) = 0.5$.
- Pour $f(x) = \tfrac12 x$ sur $[0, 2]$ : $F(x) = \tfrac14 x^2$, donc $\tfrac14 m^2 = 0.5$ donne $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Les percentiles 百分位数 fonctionnent de la même manière. Le premier quartile 四分位数 résout $F(x) = 0.25$ ; le 90e percentile résout $F(x) = 0.9$. Poser toujours $F$ égal à la fraction souhaitée.
For f(x) = ½x on [0,2], F(x) = ¼x². The median solves ¼m² = 0.5. What is m? (2 dp) · Pour f(x) = ½x sur [0,2], F(x) = ¼x². La médiane résout ¼m² = 0.5. Quelle est m ? (2 décimales)
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
The median m of a continuous distribution satisfies: · La médiane m d'une distribution continue satisfait :
The median splits the area in half: F(m) = 0.5. · La médiane divise l'aire en deux : F(m) = 0.5.
Density is not probability
$f(x)$ can exceed 1. A density isn't a probability — only the area is. A tall narrow peak can have $f(x) > 1$ as long as the total area stays $1$.
- Use cumulative distribution functions (CDFs) to find probabilities and percentiles, and the CDF of a related variable.
La densité n'est pas une probabilité
$f(x)$ peut dépasser 1. Une densité n'est pas une probabilité — seule l'aire l'est. Un pic haut et étroit peut avoir $f(x) > 1$ tant que l'aire totale reste $1$.
- Utiliser les fonctions de répartition cumulatives (CDF) pour trouver des probabilités et des percentiles, ainsi que la CDF d'une variable associée.
A probability density f(x) can be greater than 1. · Une densité de probabilité f(x) peut être supérieure à 1.
Only the area must be ≤ 1; the density itself can exceed 1 over a narrow interval. · Seule l'aire doit être ≤ 1 ; la densité elle-même peut dépasser 1 sur un intervalle étroit.
You've got it
- probability = area under $f(x)$; total area $= 1$ (density itself can exceed 1)
- the CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, and $f = F'$
- the median solves $F(m) = 0.5$; percentiles solve $F(x) =$ that fraction
Vous avez compris
- probabilité = aire sous $f(x)$ ; aire totale $= 1$ (la densité elle-même peut dépasser 1)
- la CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, et $f = F'$
- la médiane résout $F(m) = 0.5$ ; les percentiles résolvent $F(x) =$ cette fraction