Complex numbers (Further Pure 2) · Nombres complexes (Further Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | théorème de De Moivre |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forme polaire |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argument |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | module |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | partie imaginaire |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | racines de l'unité |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | cercle unité |
Raising to a power, the easy way
- To work out $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ the long way, you'd multiply ten times.
- De Moivre's theorem 棣莫弗定理 does it in one line — and as a bonus, it splits a circle into equal pieces.
Élever à une puissance, la facile
- Pour calculer $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ par la longue méthode, il faudrait multiplier dix fois.
- Le théorème de De Moivre 棣莫弗定理 le fait en une ligne — et comme bonus, cela divise un cercle en parts égales.
De Moivre's theorem
- A complex number in polar form 极坐标形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- De Moivre's theorem — for any integer $n$:
- Raising to a power multiplies the argument 辐角 by $n$ (and the modulus 模 by $r^n$).
Théorème de De Moivre
- Un nombre complexe en forme polaire 极坐标 : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Théorème de De Moivre — pour tout entier $n$ :
- Élever à une puissance multiplie l'argument 辐角 par $n$ (et le module 模 par $r^n$).
Complex numbers · Nombres complexes
z = x + yi
Plot z as a point: its distance from O is the modulus, its angle the argument. · Représentez z comme un point : sa distance à O est le module, son angle est l'argument.
De Moivre's theorem states (cos θ + i sin θ)ⁿ equals: · Le théorème de De Moivre stipule que (cos θ + i sin θ)ⁿ est égal à :
Raising to the power n multiplies the argument by n: cos nθ + i sin nθ. · Élever à la puissance n multiplie l'argument par n : cos nθ + i sin nθ.
Expanding multiple angles
- Comparing real and imaginary parts 虚部 of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ gives identities.
- Worked example: the real part of the cube gives $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Développer les multiples angles
- En comparant les parties réelle et imaginaire 虚部 de $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$, on obtient des identités.
- Exemple résolu : la partie réelle du cube donne $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Using de Moivre, cos 3θ expands to: · En utilisant De Moivre, cos 3θ se développe en :
Take the real part of (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ. · Prenez la partie réelle de (cosθ + i sinθ)³ : cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
The roots of unity 单位根
- The equation $z^n = 1$ has exactly $n$ solutions — the $n$th roots of unity.
- They lie on the unit circle 单位圆, equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart, starting at $1$.
The five solutions of $z^5 = 1$ sit on the unit circle, $72^\circ$ apart — a perfect pentagon.
Why equally spaced? Each root has modulus $1$ and arguments $\dfrac{360^\circ k}{n}$ for $k = 0, 1, \dots, n-1$ — so consecutive roots differ by the same angle.
Les racines de l'unité 单位根
- L'équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions — les $n$ièmes racines de l'unité.
- Elles se situent sur le cercle unité 单位圆, espacées également de $\dfrac{360^\circ}{n}$, en partant de $1$.
Les cinq solutions de $z^5 = 1$ sont sur le cercle unité, espacées de $72^\circ$ — un pentagone parfait.
Pourquoi espacés également ? Chaque racine a un module de $1$ et des arguments de $\dfrac{360^\circ k}{n}$ pour $k = 0, 1, \dots, n-1$ — donc les racines consécutives diffèrent par le même angle.
How many distinct roots of unity does the equation z⁵ = 1 have? · Combien de racines de l'unité distinctes l'équation z⁵ = 1 possède-t-elle ?
zⁿ = 1 has exactly n roots, equally spaced on the unit circle; here n = 5. · zⁿ = 1 a exactement n racines, régulièrement espacées sur le cercle unité ; ici n = 5.
The fifth-roots of unity are equally spaced on the unit circle. How many degrees apart are consecutive roots? · Les racines cinquièmes de l'unité sont régulièrement espacées sur le cercle unité. À combien de degrés se trouvent les racines consécutives ?
360°/5 = 72° between consecutive roots. · 360°/5 = 72° entre les racines consécutives.
The n roots of unity are equally spaced around the unit circle. · Les n racines de l'unité sont régulièrement espacées autour du cercle unité.
They sit at equal angular gaps of 360°/n around the circle. · Elles occupent des écarts angulaires égaux de 360°/n autour du cercle.
Common slip
De Moivre needs polar form first. $(1 + i)^8$ is not $1^8 + i^8$ — convert $1+i$ to $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ with $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, then apply the theorem.
- Summing a series of $\cos$/$\sin$ terms uses the complex sum $C + \mathrm{i}S$ of complex numbers.
Erreur fréquente
De Moivre nécessite d'abord la forme polaire. $(1 + i)^8$ n'est pas $1^8 + i^8$ — convertissez $1+i$ en $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, puis appliquez le théorème.
- Additionner une série de termes $\cos$/$\sin$ utilise la somme complexe $C + \mathrm{i}S$ de nombres complexes.
Before applying de Moivre to (1 + i)⁸, you must first write 1 + i in ______ form. · Avant d'appliquer De Moivre à (1 + i)⁸, vous devez d'abord écrire 1 + i sous forme ______.
Convert to r(cosθ + i sinθ) first, then raise to the power. · Convertissez en r(cosθ + i sinθ) d'abord, puis élevez à la puissance.
You've got it
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- it expands multiple angles, e.g. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- the $n$ roots of unity are equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart on the unit circle
Vous avez compris
- de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- il développe les multiples angles, ex. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- les $n$ racines de l'unité sont espacées également de $\dfrac{360^\circ}{n}$ sur le cercle unité