Focus SL soutenu. Première évaluation 2021 ; actuelle jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.
Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.
Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.
Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.
Choisir la structure mathématique
Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.
Tester un raccourci séduisant
Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
5.3
Recherche de racines et intégration numérique
Quelle fiabilité pour une approximation ?
Une équation non linéaire n'a pas de solution exacte commode. Une approximation nécessite tout de même des preuves de sa fiabilité.
Cette leçon étudie l'itération : une mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente.
Choisir la structure mathématique
Une fonction continue prenant des signes opposés aux deux extrémités possède une racine entre elles. La méthode de Newton utilise x_next=x-f(x)/f'(x), avec une dérivée non nulle. La règle des trapèzes approxime une intégrale définie en utilisant les hauteurs aux extrémités.
Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Traiter un cas vérifié
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Exemple :
Pour f(x)=x²-2 et x₀=1.5, Newton donne x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Avec y=x² sur [0,2] et deux bandes égales, h=1 et aire trapèze=(1/2)(0+2×1+4)=3 ; l'aire exacte est 8/3.
Tester un raccourci séduisant
Un changement de signe à travers une discontinuité ne prouve pas l'existence d'une racine. L'itération peut diverger ou former un cycle. La surestimation ou la sous-estimation par la règle des trapèzes dépend de la courbure, et non uniquement du fait que la fonction soit croissante.
Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Avertissement :
Chaque changement de signe prouve l'existence d'une racine, y compris lors d'une discontinuité. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Interpréter une situation nouvelle
Donnez un critère d'arrêt et rapportez une précision raisonnable. Confirmez la racine approchée par un encadrement de signes autour de la réponse arrondie indiquée ; expliquez tout échec de l'itération choisie.
Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
Utiliser cela dans votre cursus
Première évaluation actuelle-2021 Applications et Interprétation SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Clé :
Mise à jour répétée où chaque nouvelle approximation est calculée à partir de la précédente. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.
Leçons interactives sur ce sujet
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
