1 · Nombres et algèbre

Ce document couvre des sujets sélectionnés de niveau supérieur pour le cours dont la première évaluation a eu lieu en 2021 ; il ne s'agit pas du programme entier.

Prérequis : lire les quantités et unités indiquées, puis utiliser l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous.

Les exemples sont originaux et fictifs : ils ne correspondent ni à de vraies mesures ni à de véritables enquêtes d'étudiants.

Peut-on empaqueter sans reste ?

• Un fournisseur emballe 72 crayons et 90 stylos dans des sacs-cadeaux identiques. Comment éviter les restes ?
• Cette leçon étudie le facteur premier : un nombre premier qui divise exactement un entier.

La méthode

• Les facteurs premiers révèlent la structure commune.
• Utilisez les plus petites puissances premières communes pour le PGC et les plus grandes pour le PPCM.
• Estimez avant de calculer ; utilisez des parenthèses pour préserver l’ordre des opérations.

Cas résolu

Exemple :

72=2^3×3^2 et 90=2×3^2×5. Leur PGCD est 2×9=18. Préparez 18 sacs avec 4 crayons et 5 stylos chacun. Leur PPCM est 2^3×3^2×5=360.

Où cela échoue

• Le PGC divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux.
• Ils répondent à des questions différentes.
• Une estimation décimale n’est pas une fraction exacte.

Pas vrai : Le PGCD de deux entiers positifs est toujours supérieur à chacun des entiers. Le PGCD divisant les deux nombres, il ne peut jamais être plus grand que le plus petit : le PGCD de 72 et 90 est 18.

Application

• Pour une épreuve sans calculatrice, conservez les fractions exactes et montrez les simplifications.
• Pour une épreuve de calculatrice, saisissez l'expression complète et comparez-la à votre estimation.

Dans votre cours

• Analyse et Approches SL, le cours premier évalué en 2021.

Clé :

• Facteur premier : Un nombre premier qui divise exactement l'entier.
• Les facteurs premiers révèlent la structure commune.
• À vérifier : le PGCD divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux.

Écrire à partir d'un PGCD de 15

• Trouvez le PGC et le PPCM de 45 et 75.
• Le PCC est plus petit que les deux entiers.

Quelle est l'ampleur d'une longueur microscopique ?

• Un microscope enregistre une longueur de 0.000072 mètres. Une représentation compacte doit conserver sa taille correcte.
• Cette leçon étudie l'indice : la puissance à laquelle une base est élevée.

La méthode

• Pour une même base positive, la multiplication ajoute les exposants et la division les soustrait.
• Un exposant négatif signifie le réciproque ; un exposant fractionnaire représente une racine.
• La notation scientifique impose 1≤a<10.

Cas résolu

Exemple :

0.000072=7.2×10^(-5). De plus, 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplifiez √72=6√2, puis rationalisez $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Où cela échoue

• Les lois des indices ne transforment pas une somme en une seule puissance : 2^3+2^4=24, et non 2^7.
• Ne pas arrondir un radical lorsqu'une réponse exacte est demandée.

Faux : Pour tout a positif, a^2+a^3 équivaut à a^5. Les lois des indices n'additionnent les puissances que lorsque les termes sont multipliés : 2²+2³=12, mais 2⁵=32.

Application

• Vérifier les puissances de dix par rapport à la quantité originale.
• Utiliser les radicaux pour la géométrie exacte, et arrondir uniquement la longueur finale si la question demande une décimale.

Dans votre cours

• Analyse et Approches SL, le cours premier évalué en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Index : La puissance à laquelle une base est élevée.
• Pour une même base positive, la multiplication ajoute les exposants et la division les soustrait.
• Surveiller : les lois des indices ne transforment pas une somme en une seule puissance : 2^3+2^4=24, et non 2^7.

Écrire de 27 à la puissance 2/3

• Évaluer 27 à la puissance 2/3.
• Pour un nombre positif, a au carré plus a au cube n'est pas a à la puissance cinq.

La variation ajoute-t-elle ou multiplie-t-elle ?

• Un plan d'épargne ajoute ¥30 chaque semaine ; un modèle de population croît de 5% chaque année. Des différences égales et des rapports égaux nécessitent des modèles différents.
• Cette leçon étudie le taux commun : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.

La méthode

• Pour une suite arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Pour une suite géométrique, u_n=ar^(n-1) et S_n=a(1-r^n)/(1-r).
• Une somme géométrique infinie existe uniquement si |r|<1.

Cas résolu

Exemple :

Pour a=5, d=3, n=8, on a u_8=5+7×3=26 et S_8=8(10+21)/2=124. Pour a=12, r=1/2, la somme à l'infini est 12/(1-1/2)=24. Pour u_(n+1)=2u_n+1 avec u_1=1, les termes suivants sont 3,7,15.

Où cela échoue

• Le premier terme a l'indice 1, donc l'exposant est n-1.
• Une suite est une liste ; une série est une somme.
• Une suite géométrique peut alterner en signe et encore converger.

Faux : Toute série géométrique a une somme finie vers l'infini. Une somme vers l'infini n'existe que lorsque −1<r<1 ; pour r=2, les termes augmentent sans limite.

Application

• Expliquez si le contexte justifie un changement additif ou multiplicatif.
• En finance, distinguez un dépôt unique d'un flux de dépôts avant de choisir une formule de somme.

Dans votre cours

• Analyse et Approches SL, le cours premier évalué en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Raison commune : Le multiplicateur constant entre les termes consécutifs d'une suite géométrique.
• Pour une suite arithmétique, u_n=a+(n-1)d et S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Surveillez : le premier terme a l'indice 1, donc l'exposant est n-1.

Écrire à partir du terme 6 29

• Une suite arithmétique a pour premier terme 4 et pour raison 5.
• Trouvez le terme 6. Une série géométrique infinie nécessite un rapport commun dont la valeur absolue est inférieure à 1.

Peut-on retrouver le prix initial ?

• Un manteau est réduit de 20% à ¥240. La réduction s'applique au prix initial, pas au prix de vente.
• Cette leçon étudie le multiplicateur : un facteur qui effectue une variation en pourcentage en une seule multiplication.

La méthode

• Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100.
• Inversez un pourcentage en divisant par le multiplicateur.
• Dans un ratio, trouvez d'abord le nombre total de parties.

Cas résolu

Exemple :

Soit P le prix initial. Le modèle est : prix de vente=0.8P. Donc P=240/0.8=300. Une augmentation ultérieure de 20% donne 240×1.2=288, donc les deux changements ne s'annulent pas.

Où cela échoue

• Un pourcentage utilise une base spécifiée.
• Soustraire les pourcentages fait perdre cette base.
• Pour un changement composé, multipliez les multiplicateurs ; n'additionnez pas les pourcentages.

Faux : Une diminution de 20% suivie d'une augmentation de 20% restaure le prix initial. L'augmentation de 20% est appliquée à un montant inférieur : 100×0.8×1.2=96, et non 100.

Application

• Pour la proportion directe, utilisez y=kx ; pour la proportion inverse, utilisez y=k/x.
• Calculez k à partir d'une paire connue avant d'utiliser une nouvelle valeur.
• Indiquez ce que vous avez maintenu constant.

Dans votre cours

• Analyse et Approches SL, le cours premier évalué en 2021.
• Le papier 1 est sans calculatrice : conservez les fractions, racines et π sous forme exacte et présentez chaque étape. Sur les épreuves avec calculatrice, écrivez toujours l'expression avant sa valeur numérique.

Clé :

• Multiplicateur : Un facteur qui effectue une variation pourcentuelle lors d'une multiplication.
• Une augmentation de p% a pour multiplicateur 1+p/100 ; une diminution a pour multiplicateur 1-p/100.
• À surveiller : Un pourcentage utilise une base déclarée.

Écrire à partir d'un prix final de 192

• Un prix de 200 diminue de 20 pour cent puis augmente de 20 pour cent.
• Trouver le prix final. Les deux variations ne s'annulent pas.