Baccalauréat international · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can we pack without leftovers?

• A supplier packs 72 pencils and 90 pens into identical gift bags. How can we avoid leftovers?
• This lesson studies prime factor 质因数: A prime number that divides the integer exactly.

Choose the mathematical structure

• Prime factors reveal shared structure. Use the smallest common prime powers for the HCF and the largest for the LCM. Estimate before calculating; use brackets to preserve the order of operations.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

72=2^3×3^2 and 90=2×3^2×5. Their HCF is 2×9=18. Make 18 bags with 4 pencils and 5 pens each. Their LCM is 2^3×3^2×5=360.

Test a tempting shortcut

• The HCF divides both numbers; the LCM is a multiple of both. They answer different questions. A decimal estimate is not an exact fraction.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The HCF of two positive integers is always larger than either integer. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a non-calculator paper, keep fractions exact and show cancellation. For a calculator paper, enter the full expression and compare with your estimate.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A prime number that divides the integer exactly. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How small is a microscopic length?

• A microscope records a length of 0.000072 metres. A compact representation must keep its size correct.
• This lesson studies index 指数: The power to which a base is raised.

Choose the mathematical structure

• For the same positive base, multiplication adds indices and division subtracts them. A negative index means reciprocal; a fractional index represents a root. Standard form has 1≤a<10.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

0.000072=7.2×10^(-5). Also 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplify √72=6√2, then rationalise $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Test a tempting shortcut

• Index laws do not turn a sum into a single power: 2^3+2^4=24, not 2^7. Do not round a surd when an exact answer is requested.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

For every positive a, a^2+a^3 equals a^5. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Check powers of ten against the original quantity. Use surds for exact geometry, and round only the final length when the question asks for a decimal.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The power to which a base is raised. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Does the change add or multiply?

• A saving plan adds ¥30 more each week; a population model grows by 5% each year. Equal differences and equal ratios need different models.
• This lesson studies common ratio 公比: The constant multiplier 乘数 between consecutive terms of a geometric sequence.

Choose the mathematical structure

• For an arithmetic progression, u_n=a+(n-1)d and S_n=n(2a+(n-1)d)/2. For a geometric progression, u_n=ar^(n-1) and S_n=a(1-r^n)/(1-r). An infinite geometric sum exists only if |r|<1.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For a=5,d=3,n=8, u_8=5+7×3=26 and S_8=8(10+21)/2=124. For a=12,r=1/2, S infinity=12/(1-1/2)=24. For u_(n+1)=2u_n+1 with u_1=1, the next terms are 3,7,15.

Test a tempting shortcut

• The first term has index 1, so the exponent is n-1. A sequence is a list; a series is a sum. A geometric sequence can alternate in sign and still converge.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every geometric series has a finite sum to infinity. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Explain whether the context justifies additive or multiplicative change. In finance, distinguish a single deposit from a stream of deposits before choosing a sum formula.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The constant multiplier between consecutive terms of a geometric sequence. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can we recover the original price?

• A coat is reduced by 20% to ¥240. The discount applies to the original price, not to the sale price.
• This lesson studies multiplier: A factor that performs a percentage change in one multiplication.

Choose the mathematical structure

• A p% increase has multiplier 1+p/100; a decrease has multiplier 1-p/100. Reverse a percentage by dividing by the multiplier. In a ratio, first find the total number of parts.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Let the original price be P. The model is sale price=0.8P. Hence P=240/0.8=300. A later 20% increase gives 240×1.2=288, so the two changes do not cancel.

Test a tempting shortcut

• A percentage uses a stated base. Subtracting the percentages loses that base. For compound change, multiply the multipliers; do not add the percentages.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A 20% decrease followed by a 20% increase restores the starting price. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For direct proportion use y=kx; for inverse proportion use y=k/x. Calculate k from a known pair before using a new value. State what you held constant.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A factor that performs a percentage change in one multiplication. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Focus SL soutenu. Première évaluation 2021 ; actuelle jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Quelles entrées sont autorisées ?

• Un modèle racine carrée produit une sortie réelle uniquement pour certaines entrées. Sa formule seule ne définit pas une fonction complète.
• Cette leçon étudie le domaine : l'ensemble des entrées autorisées pour une fonction.

Choisir la structure mathématique

• Énoncez le domaine et l'image. Pour une fonction réciproque, assurez-vous d'abord que la fonction est bijective sur son domaine. La composition fg signifie appliquer g en premier, puis f ; la sortie intermédiaire doit être une entrée autorisée pour f.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour f(x)=√(x-2), x≥2 et l'image est y≥0. De y=√(x-2), on obtient x=y²+2. Ainsi f inverse(x)=x²+2 avec x≥0. Pour g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.

Tester un raccourci séduisant

• L'élévation au carré peut introduire des solutions parasites. Restreindre le domaine d'une parabole est indispensable avant d'affirmer l'existence d'une fonction réciproque. Une translation horizontale à l'intérieur de f a un signe opposé au mouvement du graphique.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Toute fonction quadratique définie sur tous les réels possède une fonction réciproque. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Vérifiez f(f inverse(x))=x sur le domaine de l'inverse. Utilisez un croquis pour tester si une ligne horizontale coupe le graphique original plus d'une fois.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

L'ensemble des entrées autorisées pour une fonction. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Pourquoi un modèle de décroissance reste-t-il positif ?

• La concentration d'un médicament diminue du même pourcentage chaque heure. Une soustraction constante prédirait finiment une quantité négative.
• Cette leçon étudie la demi-vie : le temps nécessaire pour qu'une grandeur décroissante atteigne la moitié de sa valeur initiale.

Choisir la structure mathématique

• Pour y=Ae^(kt), k est un taux proportionnel. Prendre les logarithmes donne ln y=ln A+kt. Les logarithmes exigent des arguments positifs, et log(x+y) n'est pas égal à log x+log y.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Si y=80e^(-0.2t), y=40 implique e^(-0.2t)=1/2. Par conséquent t=ln2/0.2≈3.466. Pour 3^x=20, x=ln20/ln3. Tracer ln y en fonction de t linéarise ce modèle exponentiel.

Tester un raccourci séduisant

• Un ajustement exponentiel est un modèle, pas une garantie. Spécifiez les unités de temps et la plage d'utilisation. Un k négatif décrit une décroissance ; une valeur initiale négative contredit généralement le contexte.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Pour x et y positifs, ln(x+y)=ln x+ln y. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Comparez les observations réelles avec le modèle. Des écarts systématiques peuvent indiquer des conditions changeantes. Dans un rapport, expliquez ce que signifient le taux et la valeur initiale, plutôt que de donner une simple équation.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le temps nécessaire pour qu'une grandeur décroissante atteigne la moitié de sa valeur initiale. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Focus SL soutenu. Première évaluation 2021 ; actuelle jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Le volume s'échelle-t-il comme la longueur ?

• Un modèle a des longueurs un tiers de celles de l'objet réel. De combien sont réduites sa surface et son volume ?
• Cette leçon étudie le facteur d'échelle : le multiplicateur reliant les longueurs correspondantes dans des figures semblables.

Choisir la structure mathématique

• Pour des figures semblables avec un facteur d'échelle linéaire k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Énoncer explicitement les raisons relatives aux angles. La tangente d'un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Si le facteur d'échelle longueur modèle-réel est 3, une surface de 12 cm² du modèle donne 12×3²=108 cm² et un volume de 8 cm³ du modèle donne 8×3³=216 cm³. Un cylindre de rayon r=3 et de hauteur h=5 a pour volume πr²h=45π.

Tester un raccourci séduisant

• Des angles égaux seuls établissent la similarité, pas l'égalité de taille. Utiliser les longueurs correspondantes dans le même ordre. Convertir les unités linéaires avant de calculer l'aire ou le volume, ou carrer/cuber correctement le facteur de conversion.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Doublant chaque longueur d'un solide double son volume. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Une démonstration géométrique doit citer le théorème pertinent, identifier l'angle égal ou le rapport, et tirer la conclusion. Un dessin à l'échelle n'est une preuve que si la tâche autorise la mesure.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le multiplicateur reliant les longueurs correspondantes dans des figures semblables. Choisir la relation, exposer la méthode, vérifier ses hypothèses et interpréter le résultat.

Quel côté l'échelle nécessite-t-elle ?

• Une échelle atteint une hauteur de 4 m tandis que son pied est à 3 m du mur. Quels côtés sont connus et quel angle faut-il trouver ?
• Cette leçon étudie l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle.

Choisir la structure mathématique

• Dans un triangle rectangle a²+b²=c² ; sinθ=côté opposé/hypoténuse, cosθ=côté adjacent/hypoténuse et tanθ=côté opposé/côté adjacent. Pour les autres triangles, utilisez la loi des sinus ou la loi des cosinus, ou aire = ab sin C / 2.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

La longueur de l'échelle est c=√(3²+4²)=5 m. Son angle avec le sol satisfait tanθ=4/3, donc θ≈53.1°. Avec deux côtés 6 et 8 formant un angle de 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

Tester un raccourci séduisant

• Étiquetez les côtés par rapport à l'angle choisi. Pythagore nécessite un angle droit. Une erreur de mode angle sur la calculatrice peut produire un résultat plausible mais faux. Conservez les valeurs non arrondies pour les étapes suivantes.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Pythagore s'applique à tous les triangles, y compris ceux sans angle droit. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Utilisez un plan ou une élévation pour un problème en trois dimensions avant d'appliquer une règle trigonométrique. Expliquez pourquoi le triangle choisi contient la longueur ou l'angle requis.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

La jante parcourt-elle cette distance ?

• Une roue en rotation balaye un arc. Les radians relient directement son angle à la distance parcourue le long du bord.
• Cette leçon étudie le radian : l'angle sous-tendu par un arc dont la longueur est égale au rayon.

Choisir la structure mathématique

• Pour θ en radians, la longueur d'arc s=rθ et l'aire du secteur A=r²θ/2. Utilisez sin²θ+cos²θ=1 et les identités angulaires pour simplifier ou résoudre. Énumérez toutes les solutions dans l'intervalle spécifié.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour r=4 et θ=π/3, s=4π/3 et A=8π/3. Résoudre sin x=1/2 sur 0≤x<2π donne x=π/6 et 5π/6. Pour sin(2x)=1/2, résolvez d'abord sur 0≤2x<4π avant de diviser par 2.

Tester un raccourci séduisant

• La fonction arcsin d'une calculatrice donne une seule valeur principale. Elle ne fournit pas toutes les solutions. Diviser par sin x peut éliminer les solutions où sin x=0 ; vérifier ce cas en premier.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

La valeur principale de l'arc sinus est toujours la seule solution dans un tour complet. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Choisissez une identité qui réduit l'équation à une seule fonction trigonométrique. Conservez les angles familiers exacts autant que possible, et vérifiez chaque solution dans l'équation originale.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

L'angle sous-tendu par un arc dont la longueur est égale au rayon. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can one average tell the whole story?

• Two groups have the same median but different spread. One summary cannot describe both location and consistency.
• This lesson studies frequency density 频率密度: Frequency divided by class width, used as histogram height.

Choose the mathematical structure

• Compare an appropriate average and spread in context. A histogram uses area for frequency, so height=frequency/class width. Grouped estimates assume representative values within intervals.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A class from 10 to 20 with frequency 30 has density 30/10=3. A class from 20 to 40 with frequency 20 has density 20/20=1. Its wider bar must not be mistaken for a larger density. For values 2,4,4,6,9, the median is 4 and mean is 5.

Test a tempting shortcut

• The tallest histogram bar need not contain the most observations. A grouped mean is an estimate. Correlation does not prove causation, and extrapolation extends beyond the observed range.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A histogram bar's height always equals its frequency, even with unequal class widths. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose a display that fits the data type. Give both a numerical comparison and what it means for the population; do not infer more precision than the sample supports.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

Frequency divided by class width, used as histogram height. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What changes after the first draw?

• A bag has 3 red and 2 blue counters. Taking two without replacement changes the chance of the second colour.
• This lesson studies conditional probability 条件概率: The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition.

Choose the mathematical structure

• Multiply along a tree branch and add disjoint branches. With replacement, the composition stays fixed. Conditional probability is P(A given B)=P(A∩B)/P(B), for P(B)>0.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Test a tempting shortcut

• Mutually exclusive means no overlap; independent means that knowing one event does not change the other's probability. Two disjoint events with positive probability are not independent.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A two-way table makes the restricted denominator visible. Before using a product P(A)P(B), justify independence from the context or the supplied information.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What makes a count predictable?

• A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
• This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.

Choose the mathematical structure

• A binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and constant p. E(X)=np and Var(X)=np(1-p). For a normal model use z=(x-μ)/σ. A Poisson model describes counts with a constant rate and appropriate independence assumptions.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 and Var(X)=0.8. For a normal quantity with μ=100,σ=15, the value 130 has z=2. A Poisson mean of 3 per hour gives mean 6 over two hours.

Test a tempting shortcut

• Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Write the event as an inequality before using calculator distribution functions. Distinguish P(X<k), P(X≤k) and a tail complement. State assumptions in context.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Focus SL soutenu. Première évaluation 2021 ; actuelle jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Qu'est-ce que la pente en un point ?

• Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
• Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.

Choisir la structure mathématique

• Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.

Tester un raccourci séduisant

• Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Quelle quantité de changement s'est accumulée ?

• Un graphique de vitesse nous donne le mouvement à un instant donné. Comment pouvons-nous récupérer le déplacement accumulé au fil du temps ?
• Cette leçon étudie l'antidérivée : une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée.

Choisir la structure mathématique

• Pour n≠-1, l'intégrale de ax^n est ax^(n+1)/(n+1)+C. Une intégrale définie représente une accumulation signée. Séparez les intervalles aux changements de signe si l'aire totale ou la distance est requise.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Pour v(t)=3t²-3 sur 0≤t≤2, le déplacement=[t³-3t]_0^2=2. Puisque v change de signe en t=1, la distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. Les constantes s'annulent uniquement pour une intégrale définie.

Tester un raccourci séduisant

• L'intégrale de 1/x est ln|x|+C, et non la règle des puissances avec n=-1. L'aire signée peut être nulle même lorsque l'aire totale enclose est positive.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

Une intégrale définie est toujours égale à l'aire positive totale, même lorsque la courbe traverse l'axe. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou quel postulat elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• Identifiez ce que signifie l'intégrale et incluez les unités correctes. Une grandeur mesurée par seconde s'intègre en la quantité sous-jacente, pas en une autre grandeur. Dérivez une antidérivée pour vérifier.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Une fonction dont la dérivée est égale à l'intégrande donnée. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.

Focus SL soutenu. Première évaluation 2021 ; actuelle jusqu'à 2028. Le cours de première-évaluation-2029 est distinct. Le guide restant, les exigences d'évaluation et pratiques conservent leurs conditions enregistrées.

Prérequis : lisez les quantités et unités indiquées, utilisez l'arithmétique et les conditions du modèle ci-dessous. Chaque leçon développe sa propre méthode avant un transfert autonome.

Ce sont des exemples pédagogiques originaux ou explicitement fictifs, pas des mesures réelles ni des enquêtes évaluées achevées par des apprenants.

Qu'est-ce qui rend une investigation mathématique ?

• Un élève souhaite prédire le temps d'attente dans la file au restaurant scolaire. Une exploration utile nécessite une question, des données et des mathématiques que l'élève peut expliquer.
• Cette leçon étudie l'hypothèse : une condition adoptée pour rendre un modèle mathématique possible et dont l'effet doit être évalué.

Choisir la structure mathématique

• Formulez une question ciblée avec des variables mesurables et une méthode faisable. Tenez un registre daté de vos décisions, sources et raisonnement mathématique. Utilisez la technologie pour soutenir l'analyse et expliquez chaque résultat important avec vos propres mots.
• Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.

Traiter un cas vérifié

• Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.

Exemple :

Un pilote enregistre des temps d'attente moyens de 3,5,7 minutes lorsque 10,20,30 personnes sont devant lui. Un premier modèle est t=1+0.2n. À n=25, il prédit 6 minutes. Une attente réelle de 8 donne un résidu de 2 ; explorez les variations des taux de service plutôt que de dissimuler ce désaccord.

Tester un raccourci séduisant

• Ne copiez pas une exploration type, inventez pas de données ni d'engagement personnel artificiel. Une prédiction n'est pas une preuve tant qu'elle n'est pas comparée aux observations. Le consentement et la confidentialité sont essentiels lors de la collecte de données scolaires.
• Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.

Avertissement :

L'exploration mathématique supervisée par l'école peut être remplacée par un examen blanc écrit chronométré. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.

Interpréter une situation nouvelle

• L'école supervise l'approbation des sujets, les points de contrôle, l'authenticité et l'évaluation. Pour le cours actuel 2021, utilisez le guide et les critères actuels de l'école ; les critères d'enquête 2029 appartiennent à une version d'évaluation différente.
• Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.

Utiliser cela dans votre cursus

• Première évaluation actuelle-2021 Analyse et Approches SL. Il s'agit d'un soutien conceptuel rédigé par l'auteur ; le guide complet est nécessaire pour certifier chaque objectif.
• Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.

Clé :

Une condition adoptée pour rendre un modèle mathématique possible et dont l'effet doit être évalué. Choisissez la relation, présentez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.