Ratio, proportion et taux de variation

Mathématiques AQA GCSE 8300 sujet 3.3 (spécification Version 1.0, 12 septembre 2014, premières épreuves 2017). Les lignes Fondamentales R1–R16 couvrent trois niveaux ; les ajouts uniquement Supérieurs concernent les unités composées (densité, pression) dans des contextes numériques ET algébriques (R1), travail sur les pourcentages supérieurs à 100 % et problèmes de valeur initiale (R9), $k : k^2 : k^3$ rapports de similitude (R12), construction d'équations pour proportion directe et inverse (R13), le taux de variation instantané comme pente d'une tangente (R15), et les processus itératifs généraux au-delà des intérêts composés (R16). Le lot de juin 2024 Supérieur fournit ancres vérifiées ci-dessous.

Connaissances essentielles pour le sujet 3.3 :

Passer librement entre les unités standard associées (temps, longueur, aire, volume/capacité, masse) et les unités composées (vitesse, taux de salaire, prix) dans des contextes numériques ; le fondamental supplémentaire ajoute la densité et la pression, et le niveau supérieur les aborde en contexte numérique ET algébrique — un cylindre de volume $V = 2x^3$ et de masse $m = 5x^2$ a une densité $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

La notation des rapports se simplifie à sa forme la plus simple ($45 : 60 = 3 : 4$) ; exprimer une quantité comme une fraction d'une autre (fraction au-dessus ou en dessous de 1) ; diviser une quantité selon une partie : partie ou un rapport partie : tout entier — £350 réparti en $2 : 5$ donne £100 et £250. Exprimer une relation multiplicative sous forme de rapport ou de fraction (R6) ; proportion comme égalité de rapports (R7) ; relier les rapports aux fractions et aux fonctions LINÉAIRES (R8 : la méthode unitaire et $y = kx$ sont sur le même échafaudage). Appliquer le rapport à des contextes réels — conversion, comparaison, mise à l'échelle, mélange, concentrations, problèmes de meilleure valeur/meilleur-achat (R5) : comparer les prix unitaires avant de prendre une décision.

Exemple résolu. Meilleur rapport qualité-prix : un sachet de 2.5 kg coûte £6.40 (prix unitaire £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/kg) contre une boîte de 400 g à £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/kg) — le plus grand sachet offre meilleur rapport qualité-prix, et la comparaison ne fonctionne qu'une fois QUE LES DEUX soient par kilogramme. Indiquer les prix unitaires : l'examinateur souhaite voir la division, pas seulement le choix.

Un pourcentage correspond à des parts sur cent ; interprétez les pourcentages et les variations en pourcentage comme des fractions/décimales et MULTIPLIATIVEMENT (R9). Compétence fondamentale : exprimer une quantité en pourcentage d’une autre, comparer deux quantités, calculer au-dessus de 100%, augmentation/diminution en pourcentage, problèmes de valeur initiale et intérêts simples. La discipline du multiplicateur : +12% correspond à ×1.12 ; −17% correspond à ×0.83 ; la valeur initiale se calcule en divisant la valeur finale par le multiplicateur. final par le multiplicateur.

Exemple résolu : 2H juin 2024 Q2, adapté. La population d'une ville a diminué de 12% à 2200. Valeur initiale $= 2200 \div 0.88 = 2500$. Le contrôle multiplicateur propre du barème de correction : $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ en notation scientifique — même opération de division, nombres mis à l’échelle.

Résolvez des problèmes de proportion directe et inverse avec des représentations graphiques et ALGÉBRIQUES (R10). Niveau supérieur : interprétez et CONSTRUCTIONN des équations décrivant la proportion (R13) : $X \propto Y$ signifie $X = kY$ ; $X$ est inversement proportionnel à $Y$ signifie $X = k/Y$. Si $y \propto x^3$ avec $y = 24$ à $x = 2$, alors la constante de proportionnalité est $k = 3$ ; si $p \propto \tfrac1{x^2}$ avec $p = 8$ à $x = 2$, alors $k = 32$ et $p = \tfrac{32}{x^2}$. Reconnaître et interpréter les graphiques : une proportion directe est une droite passant par l'origine (les puissances supérieures courbent vers le haut) ; une proportion inverse est une courbe en forme d'hyperbole réciproque origine (les puissances plus élevées s'incurvent vers le haut) ; proportion inverse est une courbe en forme de réciproque (R14 relie la pente d'une droite à un taux de variation).

Utiliser des unités composées — vitesse, taux de salaire, prix unitaire (Niveau fondamental additionnel) ; moyenne 11 km/h ; £234/h pour 2 h paie £36 ; comparaisons du meilleur rapport qualité-prix, moyennes $234 \div 2.6 = 90$ km/h ; £9.20/h pendant 7.5 h paie £69 ; comparaisons du meilleur rapport qualité-prix diviser le prix par la quantité et comparer comme avec comme.

Comparer des longueurs, des aires et des volumes en utilisant la notation ratio et les facteurs d'échelle (R2) : Comparer longueurs, aires et volumes en utilisant la notation de ratio et les facteurs d'échelle (R12) : longueurs $k$ : facteurs d'échelle d'aire $k^2$ : volumes $k^3$, avec des liens vers la similitude incluant rapports trigonométriques ; le Niveau supérieur s'étend à l'échelle $k : k^2 : k^3$ dans les problèmes — Des statues similaires de hauteurs $3 : 5$ ont des volumes en rapport $27 : 125$, donc une statue de 216 cm³ plus petite est mise à l'échelle à $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ cm³.

Interprétez la pente d'un graphique linéaire comme un taux de variation (R14) — sur un graphique distance-temps, c'est la vitesse ; sur un graphique vitesse-temps, la pente représente graphique accélération-distance, l'AIRE représente la distance. Une courbe plus raide (R15) indique la pente en un point sur une COURBE comme le taux de variation instantané : tracez la tangente et prenez sa pente comme hausse/pas — et appliquez les taux moyens (corde) et instantanés (tangente) dans des contextes numériques, algébriques et graphiques.

Mettez en place, résolvez et INTERPRÉTEZ des problèmes de croissance et de décroissance incluant les intérêts composés (R16) : $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 à un taux de 3% composé pendant 4 ans augmente jusqu'à $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$ ; une voiture valant £12000 perdant 15%/an diminue jusqu'à $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Exemple résolu : 2H juin 2024 Q10, adapté. Une maison valant £90000 augmente de 3% puis diminue de 8% : $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — au-dessus de £100000, donc oui. Le barème de correction du route multiplicateur : $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. Plus élevé ajoute des processus itératifs généraux : $x_{n+1} = f(x_n)$ itérations pour des répétitions de pourcentages — une quantité gagnant 5% à chaque itération suit $x_{n+1} = 1.05x_n$, et le limite (le cas échéant) résout $x = f(x)$. Interprétez les réponses dans le contexte : arrondissez de manière raisonnable et indiquez l'unité.

• Conversions d'unités et d'unités composées incluant densité et pression, algébrique au niveau supérieur (R1, R11).
• Facteurs d'échelle, diagrammes et cartes (R2) ; quantités sous forme de fractions ; notation de rapport, partage, problèmes à contexte réel et meilleurs achats (R3–R5).
• Relations multiplicatives sous forme de rapport/fraction ; proportion comme égalité de rapports ; rapports vers fractions et fonctions linéaires (R6–R8).
• Multiplicateurs de pourcentage incluant au-dessus de 100%, variation, valeur initiale, intérêts simples (R9 ; ancrage Q2).
• Proportion directe et inverse graphiquement et algébriquement ; interpréter et construire des équations de proportion (R10, R13).
• Pentes comme taux de changement ; cordes (taux moyen) et tangentes (taux instantané) (R14–R15).
• Rapports longueur : aire : volume $k : k^2 : k^3$ avec liens de similitude (R12).
• Croissance et décroissance incluant intérêts composés ; processus itératifs généraux avec interprétation (R16 ; ancrage Q10).

Notes limites : la Feuille de formules ne donne rien pour ce sujet ; comparaisons de meilleurs achats doivent montrer les prix unitaires ; les processus itératifs du niveau supérieur incluent des vérifications de convergence. Exemples travaillés sont adaptés des examens de juin 2024 niveau supérieur (voir les preuves d'évaluation de la méta) ou originaux. des preuves) ou originale.