Combined events · Eventos combinados
| English | Español |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independientes |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | mutually exclusive |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | Espacio muestral |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de árbol |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | reemplazo |
Two events at once
- You roll a die and flip a coin. What's the chance of a six AND heads?
- Combined events need two rules: AND (multiply) and OR (add).
Dos eventos a la vez
- Lanzas un dado y lanzas una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un seis Y cara?
- Los eventos combinados requieren dos reglas: Y (multiplicar) e O (sumar).
AND — multiply (independent 独立的 events)
- For two independent events (one doesn't affect the other):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
Y — multiplicar (eventos independientes)
- Para dos eventos independientes (uno no afecta al otro):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
Combined events · Eventos combinados
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
Combine two events: the area model shows AND (overlap) versus OR (union). · Combina dos eventos: el modelo de área muestra AND (intersección) frente a OR (unión).
For two independent events both happening (AND), you: · Para dos eventos independientes que ocurren ambos (AND), tú:
P(A and B) = P(A) × P(B) for independent events. · P(A y B) = P(A) × P(B) para eventos independientes.
OR — add (mutually exclusive 互斥 events)
- For two mutually exclusive events (they can't both happen):
O — sumar (eventos mutuamente excluyentes)
- Para dos eventos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir ambos):
Probability tree · Árbol de probabilidad
Multiply the probabilities along each branch; the four outcomes always add up to 1. · Multiplica las probabilidades a lo largo de cada rama; los cuatro resultados siempre suman 1.
For mutually exclusive events, P(A or B) = P(A) + P(B). · Para eventos mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B).
Mutually exclusive events cannot both happen, so you add their probabilities. · Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir ambos, así que sumas sus probabilidades.
Three ways to show outcomes
- Sample space 样本空间 diagram: a table of every outcome (two dice → $36$ cells).
- Venn diagram: sorts outcomes into overlapping sets.
- Tree diagram 树状图: a branch per stage; multiply along branches, then add the paths you want.
A Venn diagram sorts outcomes: the overlap is $\text{P}(A\text{ and }B)$, and everything inside either circle is $\text{P}(A\text{ or }B)$
Multiply along, add between. On a tree diagram: multiply probabilities along each branch (to get that path's probability), then add the paths you want (to get the total probability).
Tres formas de representar resultados
- Diagrama de espacio muestral: una tabla con cada resultado posible (dos dados → $36$ celdas).
- Diagrama de Venn: clasifica los resultados en conjuntos superpuestos.
- Diagrama de árbol: una rama por etapa; multiplicar a lo largo de las ramas y luego sumar los caminos deseados.
Un diagrama de Venn clasifica los resultados: la intersección es $\text{P}(A\text{ and }B)$, y todo lo que está dentro de cualquier círculo es $\text{P}(A\text{ or }B)$
Multiplica a lo largo, suma entre. En un diagrama de árbol: multiplica las probabilidades a lo largo de cada rama (para obtener la probabilidad de esa ruta), luego suma las rutas que deseas (para obtener la probabilidad total).
On the 6 by 6 grid of two dice (36 cells), how many cells give a total of 7? · En la cuadrícula de 6 por 6 de dos dados (36 celdas), ¿cuántas celdas dan una suma de 7?
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — six cells, so P(7) = 6/36 = 1/6. · 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — seis celdas, así que P(7) = 6/36 = 1/6.
On a tree diagram, you ______ along branches and add between paths. · En un diagrama de árbol, tú ______ a lo largo de las ramas y sumas entre trayectorias.
Multiply along each branch to get that path probability, then add the wanted paths. · Multiplica a lo largo de cada rama para obtener la probabilidad de esa trayectoria, luego suma las trayectorias deseadas.
With and without replacement 放回
- With replacement: chances stay the same each time.
- Without replacement (Extended): the total and the count change after each draw.
- Bag of $3$ red, $5$ blue: P(red, red) with replacement $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. Without replacement $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
Venn diagrams show combined events: the overlap (intersection) is AND, the whole region (union) is OR.
Con y sin reemplazo
- Con reemplazo: las probabilidades permanecen iguales en cada intento.
- Sin reemplazo (Expansión): el total y el conteo cambian después de cada extracción.
- Bolsa con $3$ rojas, $5$ azules: P(roja, roja) con reemplazo $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. Sin reemplazo $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
Los diagramas de Venn muestran eventos combinados: la intersección (solapamiento) es Y, y toda la región (unión) es O.
Bag of 3 red, 5 blue, two draws WITH replacement. P(red, red) = 9/b. What is b? · Bolsa con 3 rojos, 5 azules, dos extracciones CON reemplazo. P(rojo, rojo) = 9/b. ¿Cuál es b?
(3/8) × (3/8) = 9/64, so b = 64. · (3/8) × (3/8) = 9/64, así que b = 64.
Same bag, WITHOUT replacement. After one red is taken, how many reds remain? · Misma bolsa, SIN reemplazo. Después de sacar un rojo, ¿cuántos rojos quedan?
Started with 3 red; one taken leaves 2 red (out of 7 counters). · Empezó con 3 rojos; uno sacado deja 2 rojos (de 7 contadores).
Exactly one means two paths
- Draw twice from 2 red and 3 blue counters with replacement. Each stage has red $2/5$ and blue $3/5$. Exactly one red includes RB and BR, so $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- At least one red is easier by complement: $p=1-(3/5)^2=16/25$. This includes RR as well as the two mixed paths; do not confuse exactly one with at least one.
Exactamente uno significa dos caminos
- Sacar dos veces de 2 contadores rojos y 3 azules con reemplazo. Cada etapa tiene rojo $2/5$ y azul $3/5$. Exactamente uno rojo incluye RB y BR, por lo tanto $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- Al menos uno rojo es más fácil usando el complemento: $p=1-(3/5)^2=16/25$. Esto incluye RR así como los dos caminos mixtos; no confundir exactamente uno con al menos uno.
With replacement from 2 red and 3 blue counters, find the probability of exactly one red in two draws. · Con reemplazo de 2 contadores rojos y 3 azules, halla la probabilidad de obtener exactamente uno rojo en dos extracciones.
RB and BR give 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48. · RB y BR dan 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48.
You've got it
- AND → multiply (independent); OR → add (mutually exclusive)
- on a tree: multiply along branches, add the wanted paths
- without replacement, the second probability changes ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)
Lo has entendido
- Y → multiplicar (independiente); O → sumar (mutuamente excluyente)
- en un árbol: multiplica a lo largo de las ramas, suma las rutas deseadas
- sin reemplazo, la segunda probabilidad cambia ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)