Quadratics and inequalities
| English | Español |
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| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminante |
Which widths make enough space?
- A rectangular enclosure has area x(10-x). What widths give at least 21 square metres?
- This lesson studies discriminant 判别式: The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0.
¿Qué anchos proporcionan suficiente espacio?
- Un recinto rectangular tiene área x(10-x). ¿Qué anchos garantizan al menos 21 metros cuadrados?
- Esta lección estudia el discriminante: La cantidad b²-4ac que determina las raíces reales de ax²+bx+c=0.
Choose the mathematical structure
- Factor where possible; otherwise complete the square or use the quadratic formula. A quadratic inequality needs the sign on intervals, not only the roots. The discriminant identifies repeated or missing real roots.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Factoriza si es posible; de lo contrario completa el cuadrado o usa la fórmula cuadrática. Una inecuación cuadrática requiere el signo en intervalos, no solo las raíces. El discriminante identifica raíces reales repetidas o ausentes.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines discriminant?
The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The condition is x(10-x)≥21, so x²-10x+21≤0. Factor (x-3)(x-7)≤0. The upward parabola is nonpositive between its roots, giving 3≤x≤7. The maximum area is 25 at x=5.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
La condición es x(10-x)≥21, por lo tanto x²-10x+21≤0. Factoriza (x-3)(x-7)≤0. La parábola cóncava hacia arriba es no positiva entre sus raíces, dando 3≤x≤7. El área máxima es 25 en x=5.
Quadratics and inequalities
y=(x²-10x+21)/4
The graph rescales the vertical axis by a positive factor 1/4. Check why its roots remain 3 and 7.
Find the smaller root of x²-10x+21=0.
Factorise to (x-3)(x-7)=0. The smaller root is 3.
Test a tempting shortcut
- Multiplying an inequality by a negative number reverses its direction. A sketch must show which side of each root satisfies the inequality. Geometry may restrict x further.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A positive discriminant means that a quadratic has no real roots. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- Multiplicar una inecuación por un número negativo invierte su dirección. Un bosquejo debe mostrar qué lado de cada raíz satisface la inecuación. La geometría puede restringir aún más x.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Un discriminante positivo significa que una cuadrática no tiene raíces reales. Esta afirmación es falsa. Explica qué definición o suposición viola.
Find the discriminant of x²-6x+9=0.
The discriminant is (-6)²-4×1×9=0.
A positive discriminant means that a quadratic has no real roots.
Multiplying an inequality by a negative number reverses its direction. A sketch must show which side of each root satisfies the inequality. Geometry may restrict x further.
Interpret a new situation
- Use the vertex to interpret an optimum. Check an endpoint and a point between the roots; the algebra and graph should tell the same story.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Usa el vértice para interpretar un óptimo. Verifica un extremo y un punto entre las raíces; el álgebra y la gráfica deben contar la misma historia.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Find the maximum value of x(10-x).
Complete the square: x(10-x)=25-(x-5)². The maximum is 25.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- edexcel IAL pure mathematics; official unit P1. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- edexcel IAL matemáticas puras; unidad oficial P1. El enriquecimiento de otras unidades se identifica en la revisión del alcance; no es un requisito adicional de pago.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
La cantidad b²-4ac que determina las raíces reales de ax²+bx+c=0. Elige la relación, muestra el método, verifica sus supuestos e interpreta el resultado.