Chain, product, quotient and implicit differentiation · Regla de la cadena, producto, cociente e diferenciación implícita
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| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regla de la cadena |
Does the inside expression change too?
- A cost curve is a power of a changing expression. Differentiating the outer power alone misses the rate of its input.
- This lesson studies chain rule 链式法则: The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.
¿Cambia también la expresión interna?
- Una curva de costos es una potencia de una expresión variable. Derivar solo la potencia exterior omite la tasa de variación de su entrada.
- Esta lección estudia la regla de la cadena: la regla que multiplica la derivada externa por la derivada interna en una función compuesta.
Choose the mathematical structure
- For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). For uv, differentiate to u prime v+uv prime. For u/v, use (u prime v-uv prime)/v², where v≠0.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Elija la estructura matemática
- Para y=f(g(x)), y' = f'(g(x))g'(x). Para uv, derive como u'v+uv'. Para u/v, use (u'v-uv')/v², donde v≠0.
- Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Which description correctly defines chain rule? · ¿Qué descripción define correctamente la regla de la cadena?
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. · La regla que multiplica la derivada externa por la derivada interna para una función compuesta.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. At x=0, the gradient is 12. For x²+y²=25, differentiate implicitly: 2x+2y y prime=0, so y prime=-x/y when y≠0.
Trabaje a través de un caso verificado
- Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Para y=(3x+1)^4, y' =4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pendiente es 12. Para x²+y²=25, derive implícitamente: 2x+2y y' =0, así que y' = -x/y cuando y≠0.
Chain, product, quotient and implicit differentiation · Regla de la cadena, producto, cociente e diferenciación implícita
For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x) · Para y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compara el modelo con el caso resuelto y explica un cambio.
Find the derivative of (3x+1)^4 at x=0. · Encuentra la derivada de (3x+1)^4 en x=0.
Chain rule gives 4(3x+1)³×3; at zero this is 12. · La regla de la cadena da 4(3x+1)³×3; en cero esto es 12.
Test a tempting shortcut
- A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Pruebe un atajo tentador
- La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. En la diferenciación implícita, cada función derivada de y introduce un factor dy/dx. El denominador de un cociente se eleva al cuadrado.
- Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
La derivada de u(x)v(x) es siempre u' veces v'. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
For x²+y²=25, find dy/dx at (3,4). · Para x²+y²=25, encuentra dy/dx en (3,4).
Implicit differentiation gives 2x+2y y prime=0, so y prime=-3/4. · La diferenciación implícita da 2x+2y y' =0, por lo que y'=-3/4.
The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. · La derivada de u(x)v(x) es siempre u' por v'.
A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared. · La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. En diferenciación implícita, cada función diferenciada de y introduce un factor dy/dx. El denominador de un cociente se eleva al cuadrado.
Interpret a new situation
- Choose a useful form before differentiating: expanding a short polynomial may be simpler. For related rates, write the relation in symbols, differentiate with respect to time, then substitute measured values.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete una situación nueva
- Elija una forma útil antes de derivar: expandir un polinomio corto puede ser más sencillo. Para tasas relacionadas, escriba la relación en símbolos, derive respecto al tiempo y luego sustituya los valores medidos.
- Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
For y=xe^x, find dy/dx at x=0. · Para y=xe^x, encuentra dy/dx en x=0.
Product rule gives e^x+xe^x; at zero this is 1. · La regla del producto da e^x+xe^x; en cero esto es 1.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Emparejar cada parte de una solución completa con su propósito.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Una suposición justifica el modelo; una comprobación verifica el resultado; la interpretación lo conecta con la pregunta.
Use this in your course
- edexcel IAL further mathematics; official unit FP3. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use esto en su curso
- edexcel IAL matemáticas avanzadas; unidad oficial FP3. El enriquecimiento de otras unidades se identifica en la revisión del alcance; no es un requisito adicional de pago extra.
- Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
La regla que multiplica la derivada externa por la derivada interna en una función compuesta. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.