Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · Encontrando longitudes de arco de curvas dadas por ecuaciones paramétricas
| English | Español |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | longitud de arco |
| speed/spiːd/ | velocidad |
How far a parametric point travels
- A parametric point $\big(x(t),y(t)\big)$ moves through the plane. How long is the path it traces?
- That's the arc length 弧长 of the parametric curve, from $t=a$ to $t=b$.
- Each tiny time step moves the point by $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ across and $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ up.
- Add up those tiny hypotenuses to get the total length.
Cuánto recorre un punto paramétrico
- Un punto paramétrico $\big(x(t),y(t)\big)$ se mueve por el plano. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria que traza?
- Esa es la longitud de arco 弧长 de la curva paramétrica, desde $t=a$ hasta $t=b$.
- En cada paso pequeño de tiempo, el punto se desplaza $dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ horizontalmente y $dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ verticalmente.
- Suma esos pequeños hipotenusas para obtener la longitud total.
The formula
- The little step length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Integrating over the time interval:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Both component derivatives are squared, added, rooted, and integrated in $t$.
La fórmula
- La longitud del pequeño paso es $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- Integrando sobre el intervalo de tiempo:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- Ambas derivadas componentes se elevan al cuadrado, se suman, se saca la raíz y se integran en $t$.
The arc length of a parametric curve is $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ where the integrand is... · La longitud de arco de una curva paramétrica es $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ donde el integrando es...
Both derivatives squared, added, under a root. · Ambas derivadas al cuadrado, sumadas, bajo una raíz.
For · A favor $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$ · Para $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
The integrand is the speed
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ is exactly the speed 速率 of the moving point.
- Speed is distance per unit time; integrating speed over time gives total distance.
- So arc length = the integral of speed — the parametric version of "distance = ∫ speed dt."
- This connects directly to motion problems (lesson 9.6).
El integrando es la velocidad
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ es exactamente la velocidad 速率 del punto en movimiento.
- La velocidad es distancia por unidad de tiempo; integrar la velocidad respecto al tiempo da la distancia total.
- Por lo tanto, longitud de arco = la integral de la velocidad —la versión paramétrica de "distancia = ∫ velocidad dt".
- Esto se conecta directamente con problemas de movimiento (lección 9.6).
Length is the integral of speed · La longitud es la integral de la velocidad
y = ax^{1.5}
The parametric arc-length integrand is the point's speed — integrating speed over time gives the distance traveled. · El integrando de longitud de arco paramétrica es la velocidad del punto: integrar la velocidad respecto al tiempo da la distancia recorrida.
The parametric arc-length integrand equals the point's ____. · El integrando de longitud de arco paramétrica es igual a la ____ del punto.
Integral of speed = distance. · Integral de la velocidad = distancia.
The parametric arc length is the same integral used for a particle's... · La longitud de arco paramétrica es la misma integral que se usa para la ... de una partícula:
Integral of speed = distance traveled. · Integral de la velocidad = distancia recorrida.
Setting it up in practice
- Compute $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$, square and add, take the root.
- Integrate from the starting $t$ to the ending $t$ (the $t$-interval, not $x$ or $y$).
- Many of these integrals need a calculator; the setup is the graded skill.
- Keep both derivatives — dropping one loses the diagonal motion.
Configuración en la práctica
- Calcula $\tfrac{dx}{dt}$ y $\tfrac{dy}{dt}$, eleva al cuadrado y suma, toma la raíz.
- Integra desde el $t$ inicial hasta el $t$ final (el intervalo $t$, no $x$ ni $y$).
- Muchos de estos integrales requieren calculadora; la configuración es la habilidad evaluada.
- Mantén ambas derivadas; omitir una pierde el movimiento diagonal.
The limits of integration for parametric arc length are $t$-values. · Los límites de integración para la longitud de arco paramétrica son valores de $t$.
Integrate over the time interval. · Integrar sobre el intervalo de tiempo.
You can drop $\tfrac{dy}{dt}$ if $\tfrac{dx}{dt}$ is larger. · Se puede omitir $\tfrac{dy}{dt}$ si $\tfrac{dx}{dt}$ es mayor.
Both derivatives are needed for the diagonal motion. · Se necesitan ambas derivadas para el movimiento diagonal.
The limits are $t$-values (the time interval), and both $\tfrac{dx}{dt}$ and $\tfrac{dy}{dt}$ appear, each squared under the root. Don't use $x$-limits, and don't forget one of the two derivatives. This is the same "speed integral" as distance traveled — not a signed quantity, so no absolute values needed (the root is already $\ge0$).
Los límites son valores de $t$ (el intervalo de tiempo), y aparecen ambos $\tfrac{dx}{dt}$ y $\tfrac{dy}{dt}$, cada uno elevado al cuadrado bajo la raíz. No uses límites de $x$, y no olvides una de las dos derivadas. Este es el mismo "integral de velocidad" que la distancia recorrida —no una cantidad con signo, por lo que no se necesitan valores absolutos (la raíz ya es $\ge0$).
Find the length of $x=t^2,\ y=t^3$ for $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; sum of squares $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- $u$-sub $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
Encuentra la longitud de $x=t^2,\ y=t^3$ para $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; suma de cuadrados $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- Sustitución $u$: $u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
The arc length of a parametric curve is $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ over the $t$-interval. The integrand is the point's speed, so this is the integral of speed = distance traveled. Square both component derivatives under one root.
La longitud de arco de una curva paramétrica es $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ sobre el $t$-intervalo. El integrando es la velocidad del punto, por lo que esto equivale a la integral de velocidad = distancia recorrida. Eleva al cuadrado ambas derivadas componentes bajo una sola raíz.