Sketching Graphs of Functions and Their Derivatives · Boceto de Gráficas de Funciones y Sus Derivadas
Draw the whole shape from its derivatives
- The derivatives are a recipe for a graph: $f'$ gives the slopes, $f''$ gives the bends.
- Combine the two sign charts and you can sketch a curve you were never handed.
- Extrema come from $f'$; concavity and inflection come from $f''$.
- This is where all of Unit 5 comes together into one picture.
Dibuja la figura completa a partir de sus derivadas
- Las derivadas son una receta para un gráfico: $f'$ proporciona las pendientes, $f''$ proporciona las curvaturas.
- Combina ambos diagramas de signos y podrás dibujar una curva que nunca te han entregado.
- Los extremos provienen de $f'$; la concavidad y los puntos de inflexión provienen de $f''$.
- Aquí es donde todo la Unidad 5 se une en una sola imagen.
The information you assemble
- From $f'$: intervals of increase/decrease and the extrema (where $f'$ changes sign).
- From $f''$: intervals of concavity and the points of inflection (where $f''$ changes sign).
- Plus a few plotted points and any intercepts to anchor the height.
- Layer these together and the shape is forced.
La información que ensamblas
- De $f'$: intervalos de aumento/disminución y los extremos (donde $f'$ cambia de signo).
- De $f''$: intervalos de concavidad y los puntos de inflexión (donde $f''$ cambia de signo).
- Además, algunos puntos trazados y cualquier intersección con los ejes para fijar la altura.
- Apila todo esto y la forma queda determinada.
A local extremum of $f$ occurs at a ____ of $f'$ where it changes sign. · Un extremo local de $f$ ocurre en un ____ de $f'$ donde cambia de signo.
A sign-changing zero of $f'$ marks an extremum of $f$. · Un cero que cambia de signo de $f'$ marca un extremo de $f$.
Which features come from $f''$ (the second derivative)? · ¿Qué características provienen de $f''$ (la segunda derivada)?
Concavity + inflection from $f''$; increase/decrease + extrema from $f'$. · Concavidad e inflexión de $f''$; aumento/disminución y extremos de $f'$.
Sketching $f'$ from $f$, and back
- Given the graph of $f$: where $f$ has a horizontal tangent, $f'=0$ (a zero of $f'$).
- Where $f$ rises, $f'$ is positive; where $f$ falls, $f'$ is negative.
- Where $f$ is steepest, $f'$ is at an extreme; at an inflection of $f$, $f'$ has a max or min.
- Reverse the reading to sketch $f$ from a given $f'$.
Dibujar $f'$ a partir de $f$, y viceversa
- Dado el gráfico de $f$: donde $f$ tiene una tangente horizontal, $f'=0$ (un cero de $f'$).
- Donde $f$ sube, $f'$ es positiva; donde $f$ baja, $f'$ es negativa.
- Donde $f$ es más empinada, $f'$ está en un extremo; en un punto de inflexión de $f$, $f'$ tiene un máximo o mínimo.
- Invierte la lectura para dibujar $f$ a partir de un $f'$ dado.
Where the graph of $f$ has a horizontal tangent, the graph of $f'$... · Donde la gráfica de $f$ tiene una tangente horizontal, la gráfica de $f'$...
Horizontal tangent ⇒ slope $0$ ⇒ $f'=0$. · Tangente horizontal ⇒ pendiente $0$ ⇒ $f'=0$.
Where · Dónde $f$ is increasing, its derivative $f'$ is positive. · Donde $f$ es creciente, su derivada $f'$ es positiva.
Rising ⇔ $f'>0$. · Creciente ⇔ $f'>0$.
Put the marks on the sketch
- Mark each extremum (peak/valley), each inflection point (bend flip), and label the intervals.
- Match increasing+concave-up (curving up steeply) vs. increasing+concave-down (leveling off), and so on — four combinations.
- Check consistency: a local max should sit where increase turns to decrease and the curve is concave down.
- A clean sketch shows all four features agreeing.
Coloca las marcas en el boceto
- Marca cada extremo (pico/valle), cada punto de inflexión (cambio de curvatura) y etiqueta los intervalos.
- Asocia aumento+concavidad hacia arriba (curvándose empinadamente) vs. aumento+concavidad hacia abajo (aplanándose), y así sucesivamente — cuatro combinaciones.
- Verifica la consistencia: un máximo local debería estar donde el aumento pasa a disminución y la curva es cóncava hacia abajo.
- Un boceto limpio muestra todas las cuatro características coincidiendo.
The finished shape · La forma final
y = ax³ + cx
Peak at $(-1,2)$, inflection at $(0,0)$, valley at $(1,-2)$ — exactly what the $f'$ and · y $f''$ charts predict. · Pico en $(-1,2)$, punto de inflexión en $(0,0)$, valle en $(1,-2)$ — exactamente lo que predicen las gráficas de $f'$ y $f''$.
At a point where $f$ is high but flat, the value of $f'$ is... · En un punto donde $f$ es alta pero plana, el valor de $f'$ es...
Read the slope, not the height: flat ⇒ $f'=0$. · Lee la pendiente, no la altura: plano ⇒ $f'=0$.
A local maximum should occur where $f$ turns from increasing to decreasing and the curve is concave... · Un máximo local debería ocurrir donde $f$ pasa de creciente a decreciente y la curva es cóncava...
A peak is concave down (a cap). · Un pico es cóncavo hacia abajo (como una tapa).
Don't read $f'$ off the height of $f$ — read it off the slope. Where $f$ is high but flat, $f'=0$, not "large." And a zero of $f'$ marks a possible extremum of $f$; a zero of $f''$ marks a possible inflection of $f$ — keep the two levels straight.
No leas $f'$ desde la altura de $f$ — léela desde la pendiente. Donde $f$ es alta pero plana, $f'=0$, no "grande". Y un cero de $f'$ marca un posible extremo de $f$; un cero de $f''$ marca un posible punto de inflexión de $f$ — mantén separados estos dos niveles.
Sketch clues for $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$, decreasing on $(-1,1)$; max at $(-1,2)$, min at $(1,-2)$.
- $f''=6x$: concave down for $x<0$, concave up for $x>0$; inflection at $(0,0)$.
- The sketch: rises to a peak at $(-1,2)$, falls through $(0,0)$, dips to $(1,-2)$, then rises.
Pistas para dibujar $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: creciente en $(-\infty,-1)$ y $(1,\infty)$, decreciente en $(-1,1)$; máximo en $(-1,2)$, mínimo en $(1,-2)$.
- $f''=6x$: cóncava hacia abajo para $x<0$, cóncava hacia arriba para $x>0$; inflexión en $(0,0)$.
- El dibujo: sube hasta un pico en $(-1,2)$, desciende pasando por $(0,0)$, baja hasta $(1,-2)$ y luego sube.
To sketch a graph, combine what $f'$ says (increase/decrease and extrema) with what $f''$ says (concavity and inflection points), plus a few anchor points. Read $f'$ from the slope of $f$ (not its height); a zero of $f'$ is a possible extremum, a zero of $f''$ a possible inflection.
Para dibujar un gráfico, combina lo que dice $f'$ (aumento/disminución y extremos) con lo que dice $f''$ (concavidad y puntos de inflexión), además de algunos puntos de anclaje. Lee $f'$ desde la pendiente de $f$ (no su altura); un cero de $f'$ es un posible extremo, un cero de $f''$ un posible punto de inflexión.