Using the First Derivative Test to Determine Relative (Local) Extrema · Usar la Prueba de la Primera Derivada para Determinar Extremos Relativos (Locales)
| English | Español |
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| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | Prueba de la primera derivada |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | máximo local (relativo) |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | mínimo local (relativo) |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Clasificar un punto crítico según cómo gira $f'$
- Un punto crítico es un candidato a extremo — ahora decidimos qué tipo es.
- La Prueba de la Primera Derivativa 一阶导数判别法 lee el cambio de signo de $f'$ alrededor del punto.
- Subir y luego bajar forma una cima; bajar y luego subir forma un valle.
- Reutiliza tu tabla de signos de la lección anterior — sin cálculos nuevos.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
Positivo → negativo significa máximo
- Si $f'$ cambia de positivo a negativo en un punto crítico $c$, entonces $f$ tiene un máximo relativo (local) 局部最大值 allí.
- La función subía, se nivelaba y luego bajaba — la cima de una colina.
- Léelo directamente en la tabla de signos: un $+$ a la izquierda de $c$, un $-$ a la derecha.
- El valor máximo es $f(c)$; la ubicación es $x=c$.
A max then a min · Un máximo seguido de un mínimo
y = ax³ + cx
The left hump is a local max ($f'$ goes $+$ to · hasta $-$) and the right dip a local min ($-$ to · hasta $+$). · El bulto izquierdo es un máximo local ($f'$ pasa de $+$ a $-$) y el hundimiento derecho es un mínimo local ($-$ a $+$).
If $f'$ changes from positive to negative at $c$, then $f$ has a... · Si $f'$ cambia de positivo a negativo en $c$, entonces $f$ tiene un...
Up then down = the top of a hill = local max. · Arriba luego abajo = la cima de una colina = máximo local.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
Negativo → positivo significa mínimo
- Si $f'$ cambia de negativo a positivo en $c$, entonces $f$ tiene un mínimo relativo (local) 局部最小值 allí.
- Bajaba, se nivelaba y luego subía — el fondo de un valle.
- Tabla de signos: un $-$ a la izquierda de $c$, un $+$ a la derecha de $c$.
- Si $f'$ no cambia de signo en $c$, no hay extremo allí (es un punto plano).
If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a local ____ there. · Si $f'$ cambia de negativo a positivo en $c$, entonces $f$ tiene un local ____ allí.
Down then up = bottom of a valley = local min. · Abajo luego arriba = fondo de un valle = mínimo local.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
El procedimiento
- Encuentra los puntos críticos, construye la tabla de signos de $f'$ y lee cada cruce.
- $+\to-$: máximo local. $-\to+$: mínimo local. Sin cambio: ninguno.
- Funciona incluso donde $f'$ está definida (una esquina), siempre que el signo cambie.
- Esta es la herramienta más utilizada en el AP para clasificar extremos.
If $f'$ has the same sign on both sides of a critical point, there is no extremum there. · Si $f'$ tiene el mismo signo en ambos lados de un punto crítico, no hay extremo allí.
No sign change (like $y=x^3$ at $0$) means no max or min. · Sin cambio de signo (como $y=x^3$ en $0$) significa sin máximo ni mínimo.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$, the critical point $x=1$ is a... · Para $f(x)=x^3-3x$, el punto crítico $x=1$ es un...
$f'$ goes $-\to+$ at $x=1$ → local min. · $f'$ pasa de $-\to+$ en $x=1$ → mínimo local.
For · A favor $f(x)=x^3-3x$, the local max is at $x=-1$. Find the max value $f(-1)$. · Para $f(x)=x^3-3x$, el máximo local está en $x=-1$. Encuentra el valor máximo $f(-1)$.
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
Select all · todos true statements about the First Derivative Test. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre la Prueba de la Primera Derivada.
It is the change of sign that matters, not the value at $c$. · Lo que importa es el cambio de signo, no el valor en $c$.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
Lo que importa es el cambio en el signo, no el valor de $f'$ en $c$ (que es $0$ o indefinido allí). Si $f'$ mantiene el mismo signo en ambos lados — como $y=x^3$ en $0$ (positivo en ambos lados) — no hay ningún extremo, aunque sea un punto crítico.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
Clasifica los puntos críticos de $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- En $x=-1$: $f'$ pasa de $+\to-$ (la prueba $-2$ da $+$, la prueba $0$ da $-$) → máximo local.
- En $x=1$: $f'$ pasa de $-\to+$ (la prueba $0$ da $-$, la prueba $2$ da $+$) → mínimo local.
- Valores: máximo local $f(-1)=2$, mínimo local $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.
La Prueba de la Primera Derivada clasifica un punto crítico mediante el cambio de signo de $f'$: $+\to-$ es un máximo local, $-\to+$ es un mínimo local, y si no hay cambio de signo, no hay extremo. Simplemente lea los cruces en su tabla de signos de $f'$.