Introduction to Related Rates · Introducción a Tasas de Cambio Relacionadas
| English | Español |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | tasas relacionadas |
| time/taɪm/ | tiempo |
When one rate drives another
- Blow up a balloon: its radius grows, and because of that, its volume grows too.
- The two rates are linked — knowing how fast the radius changes tells you how fast the volume changes.
- Problems like this are related rates 相关变化率: several quantities changing together in time.
- The engine that links them is the chain rule, applied with respect to time 时间.
Cuando una tasa impulsa a otra
- Inflar un globo: su radio crece, y por eso, su volumen también crece.
- Las dos tasas están vinculadas — saber a qué velocidad cambia el radio te dice a qué velocidad cambia el volumen.
- Problemas como estos son tasas relacionadas: varias cantidades que cambian conjuntamente en el tiempo.
- El motor que las vincula es la regla de la cadena, aplicada con respecto al tiempo.
A related-rates problem links the rates of quantities that change with respect to... · Un problema de tasas relacionadas vincula las tasas de cantidades que cambian respecto a...
The variables are functions of time, linked via the chain rule. · Las variables son funciones del tiempo, vinculadas mediante la regla de la cadena.
Start with an equation relating the variables
- First, find an equation that ties the quantities together — usually geometry or a formula.
- Balloon: $V=\tfrac43\pi r^3$ links volume and radius.
- Ladder sliding down a wall: $x^2+y^2=L^2$ (Pythagoras) links the two distances.
- This relating equation is true at every instant, so we can differentiate it in time.
Comienza con una ecuación que relacione las variables
- Primero, encuentra una ecuación que una las cantidades — usualmente geometría o una fórmula.
- Globo: $V=\tfrac43\pi r^3$ vincula el volumen y el radio.
- Escalera deslizándose por una pared: $x^2+y^2=L^2$ (Pitágoras) vincula las dos distancias.
- Esta ecuación de relación es cierta en cada instante, por lo que podemos derivarla con respecto al tiempo.
Volume grows with radius · El volumen crece con el radio
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ climbs steeply — a small radius rate makes a large volume rate when $r$ is big. · $V=\tfrac43\pi r^3$ aumenta rápidamente — una tasa pequeña de radio produce una gran tasa de volumen cuando $r$ es grande.
The first step is to write an ____ that relates the changing variables. · El primer paso es escribir una ____ que relacione las variables cambiantes.
Usually a geometric or physical relationship. · Generalmente una relación geométrica o física.
A ladder of length $L$ leans on a wall. Which equation relates the base distance $x$ and height $y$? · Una escalera de longitud $L$ se apoya en una pared. ¿Cuál ecuación relaciona la distancia desde la base $x$ y la altura $y$?
Pythagoras: the wall and floor form a right angle, so $x^2+y^2=L^2$. · Pitágoras: la pared y el suelo forman un ángulo recto, así que $x^2+y^2=L^2$.
Differentiate with respect to time
- Every variable secretly depends on $t$, so differentiating brings in a rate for each — via the chain rule.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ gives $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Each term contributes a "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" factor — exactly like implicit differentiation, but the hidden variable is $t$.
- Now the equation links the rates $\tfrac{dV}{dt}$ and $\tfrac{dr}{dt}$.
Deriva con respecto al tiempo
- Cada variable depende secretamente de $t$, así que al derivar se introduce una tasa para cada una — mediante la regla de la cadena.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ da como resultado $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Cada término aporta un factor "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — exactamente igual que la diferenciación implícita, pero la variable oculta es $t$.
- Ahora la ecuación vincula las tasas $\tfrac{dV}{dt}$ y $\tfrac{dr}{dt}$.
Differentiating $V=\tfrac43\pi r^3$ with respect to $t$ gives $\dfrac{dV}{dt}=$ · Al derivar $V=\tfrac43\pi r^3$ con respecto a $t$, se obtiene $\dfrac{dV}{dt}=$
Chain rule in time: $4\pi r^2$ times $\tfrac{dr}{dt}$. · Regla de la cadena en tiempo: $4\pi r^2$ por $\tfrac{dr}{dt}$.
Sort the givens from the unknown
- Read the problem and label: which rates are given, and which single rate is wanted?
- "The radius grows at $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ is given.
- "How fast is the volume growing?" → $\tfrac{dV}{dt}$ is the unknown.
- Also note any fixed quantities (like the radius at the instant asked about).
Clasifica los datos dados y los desconocidos
- Lee el problema y etiqueta: ¿cuáles tasas están dadas y cuál única tasa se busca?
- "El radio crece a razón de $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ está dado.
- "¿A qué velocidad crece el volumen?" → $\tfrac{dV}{dt}$ es el desconocido.
- También nota cualquier cantidad fija (como el radio en el instante solicitado).
Differentiating $r^3$ with respect to time gives just $3r^2$. · Derivar $r^3$ con respecto al tiempo da solo $3r^2$.
It gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — the rate factor is required. · Da $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — se requiere el factor de tasa.
"The radius grows at $2$ cm/s; how fast is the volume growing?" Select all · todos correct labels. · "El radio crece a $2$ cm/s; ¿a qué velocidad crece el volumen?" Seleccione todas las etiquetas correctas.
The radius rate is given, the volume rate is wanted, and $V=\tfrac43\pi r^3$ relates them. · La tasa del radio está dada, se desea la tasa del volumen, y $V=\tfrac43\pi r^3$ las relaciona.
Related-rates variables are functions of time, so differentiating $r^3$ gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — never just $3r^2$. Forgetting the $\tfrac{dr}{dt}$ (the chain-rule rate factor) is the defining error. Every changing quantity contributes its own $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
Las variables de tasas relacionadas son funciones del tiempo, por lo que al derivar $r^3$ se obtiene $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — nunca solo $3r^2$. Olvidar el $\tfrac{dr}{dt}$ (el factor de tasa de la regla de la cadena) es el error característico. Cada cantidad que cambia contribuye con su propio $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
A balloon's volume is $V=\tfrac43\pi r^3$. Set up the related-rates equation.
- Differentiate with respect to $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- This links the growth rate of volume to the growth rate of radius.
- Given $\tfrac{dr}{dt}$ and the current $r$, we could now solve for $\tfrac{dV}{dt}$ (next lesson).
El volumen de un globo es $V=\tfrac43\pi r^3$. Plantea la ecuación de tasas relacionadas.
- Deriva con respecto a $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Esto vincula la tasa de crecimiento del volumen con la tasa de crecimiento del radio.
- Dado $\tfrac{dr}{dt}$ y el valor actual de $r$, ahora podríamos resolver para $\tfrac{dV}{dt}$ (próxima lección).
A related rates problem links the rates of two or more quantities changing in time. Write an equation relating the variables (often geometry), differentiate it with respect to $t$ using the chain rule (each variable gets a $\tfrac{d(\ )}{dt}$), and identify which rates are given and which is wanted.
Un problema de tasas relacionadas vincula las tasas de dos o más cantidades que cambian en el tiempo. Escribe una ecuación que relacione las variables (usualmente geometría), deriva con respecto a $t$ usando la regla de la cadena (cada variable recibe un $\tfrac{d(\ )}{dt}$), e identifica cuáles tasas están dadas y cuál se busca.