Defining Continuity at a Point · Definiendo la continuidad en un punto
| English | Español |
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| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | continuos |
"Draw it without lifting your pen"
- Intuitively, a function is continuous 连续 at $c$ if its graph has no break there — no hole, no jump, no blow-up.
- But "no break" needs a precise test you can check, not just eyeball.
- Calculus pins it to three conditions, all about the point $c$.
- Pass all three and the curve flows smoothly through $\big(c, f(c)\big)$.
"Dibújalo sin levantar el lápiz"
- Intuitivamente, una función es continua 连续 en $c$ si su gráfica no presenta interrupciones en ese punto — sin huecos, saltos ni explosiones.
- Pero "sin interrupciones" requiere una prueba precisa que puedas verificar, no solo inspeccionar a simple vista.
- El cálculo la define mediante tres condiciones, todas relacionadas con el punto $c$.
- Si cumples las tres, la curva fluye suavemente a través de $\big(c, f(c)\big)$.
A curve with no break · Una curva sin interrupciones
y = ax² + bx + c
This polynomial passes all three continuity conditions at every point — defined, limit exists, and the two match. · Este polinomio cumple las tres condiciones de continuidad en cada punto: está definido, el límite existe y ambos coinciden.
The three conditions
- (1) $f(c)$ is defined — the point actually exists (no hole).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists — both one-sided limits agree (no jump, no blow-up).
- (3) They are equal: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — the curve arrives exactly where the point sits.
- All three must hold. Continuity at $c$ is precisely conditions (1) + (2) + (3).
Las tres condiciones
- (1) $f(c)$ está definida — el punto realmente existe (no hay hueco).
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ existe — ambos límites laterales coinciden (no hay saltos ni explosiones).
- (3) Son iguales: $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — la curva llega exactamente donde se encuentra el punto.
- Las tres deben cumplirse. La continuidad en $c$ equivale precisamente a las condiciones (1) + (2) + (3).
Select all · todos conditions required for $f$ to be continuous at $c$. · Seleccione todas las condiciones necesarias para que $f$ sea continua en $c$.
The three conditions are defined, limit-exists, and equal. Being a polynomial is not required. · Las tres condiciones son: estar definido, que el límite exista y que sean iguales. Ser un polinomio no es necesario.
The third continuity condition says the limit must ____ the function value $f(c)$. · La tercera condición de continuidad dice que el límite debe ____ el valor de la función $f(c)$.
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Break any one → discontinuity
- Fail (1): the point is missing — a hole even if the limit exists.
- Fail (2): the sides disagree or the function blows up — a jump or infinite break.
- Fail (3): both exist but the dot floats off the curve — a removable hole plotted elsewhere.
- Each failure matches a discontinuity type from the previous lesson.
Rompe cualquiera → discontinuidad
- Falla (1): falta el punto — un hueco aunque exista el límite.
- Falla (2): los lados no coinciden o la función explota — un salto o ruptura infinita.
- Falla (3): ambos existen pero el punto flota fuera de la curva — un hueco evitable trazado en otro lugar.
- Cada fallo corresponde a un tipo de discontinuidad visto en la lección anterior.
If $f(c)=1$ and · y $\lim_{x\to c}f(x)=4$, then at $c$ the function is... · Si $f(c)=1$ y $\lim_{x\to c}f(x)=4$, entonces en $c$ la función es...
Both exist but disagree — condition 3 fails, so $f$ is discontinuous (a removable hole). · Ambas existen pero difieren — falla la condición 3, por lo tanto $f$ es discontinua (un agujero evitable).
Checking a specific point
- Plug in: is $f(c)$ a real number? (Condition 1.)
- Take the limit from both sides: do they agree on a value $L$? (Condition 2.)
- Compare: does $L=f(c)$? (Condition 3.)
- Only "yes, yes, yes" earns the label continuous at $c$.
Verificar un punto específico
- Sustituye: ¿es $f(c)$ un número real? (Condición 1.)
- Calcula el límite por ambos lados: ¿coinciden en un valor $L$? (Condición 2.)
- Compara: ¿es $L=f(c)$? (Condición 3.)
- Solo el "sí, sí, sí" otorga la etiqueta continua en $c$.
Merely knowing $f(c)$ is defined is enough to conclude $f$ is continuous at $c$. · Saber meramente que $f(c)$ está definida es suficiente para concluir que $f$ es continua en $c$.
You also need the limit to exist and to equal $f(c)$. · También necesita que el límite exista y sea igual a $f(c)$.
For · A favor $f(x)=x^2+1$, is $f$ continuous at $x=2$? · Para $f(x)=x^2+1$, ¿es $f$ continua en $x=2$?
All three conditions hold, so $f$ is continuous at $2$ (polynomials are continuous everywhere). · Se cumplen las tres condiciones, así que $f$ es continua en $2$ (los polinomios son continuos en todas partes).
For continuity of $f$ at $x=1$ we need $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. If $\lim_{x\to1}f(x)=7$, what must $f(1)$ equal? · Para la continuidad de $f$ en $x=1$ necesitamos $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Si $\lim_{x\to1}f(x)=7$, ¿qué debe valer $f(1)$?
Condition 3 forces $f(1)=7$. · La condición 3 obliga a que $f(1)=7$.
All three conditions are needed — checking only that $f(c)$ exists, or only that the limit exists, is not enough. A function can have a perfectly good $f(c)=1$ and a perfectly good $\lim_{x\to c}f(x)=4$, yet still be discontinuous because $1\neq4$ (condition 3 fails).
Se necesitan las tres condiciones — verificar solo que $f(c)$ existe, o solo que el límite existe, no es suficiente. Una función puede tener un $f(c)=1$ perfecto y un $\lim_{x\to c}f(x)=4$ perfecto, y aún así ser discontinua porque $1\neq4$ (falla la condición 3).
Is $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x;\neq1\\[4pt]3,&x;=1\end{cases}$ continuous at $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — defined. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — exists. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — not equal. ✗
- Condition (3) fails, so $f$ is discontinuous at $1$ (a removable hole with the point plotted at height $3$).
¿Es $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x;\neq1\\[4pt]3,&x;=1\end{cases}$ continua en $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — definida. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — existe. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — no son iguales. ✗
- La condición (3) falla, por lo tanto $f$ es discontinua en $1$ (un hueco evitable con el punto trazado a altura $3$).
$f$ is continuous at $c$ exactly when three things hold: $f(c)$ is defined, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists, and the two are equal. Fail any one and you get a discontinuity — the failed condition tells you which type.
$f$ es continua en $c$ cuando y solo cuando se cumplen tres cosas: $f(c)$ está definida, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ existe, y ambas son iguales. Falla cualquiera de ellas y obtienes una discontinuidad — la condición fallada te indica qué tipo es.