Estimating Limit Values from Graphs · Estimación de Valores Límite a Partir de Gráficas
| English | Español |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | límite lateral izquierdo |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | límite lateral derecho |
| hole/həʊl/ | agujero |
| jump/dʒʌmp/ | salto |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | sin límites |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | oscilación |
Read the limit straight off the picture
- Given a graph, you can often see a limit without any algebra.
- Put your finger on the curve a little left of $x=c$ and trace it toward $c$: what height are you heading for?
- Do the same from the right. If both fingers aim at the same height, that height is the limit.
- The trick: watch where the curve is going, and ignore any single plotted dot at $x=c$.
Leer el límite directamente en la gráfica
- Dada una gráfica, a menudo puedes ver un límite sin necesidad de hacer álgebra.
- Coloca tu dedo en la curva un poco a la izquierda de $x=c$ y deslízalo hacia $c$: ¿a qué altura te diriges?
- Haz lo mismo desde la derecha. Si ambos dedos apuntan a la misma altura, esa altura es el límite.
- El truco: observa hacia dónde se dirige la curva e ignora cualquier punto trazado individualmente en $x=c$.
Trace the curve toward a point · Trazar la curva hacia un punto
y = ax² + bx + c
Slide toward an input from the left and the right — the limit is the shared height the curve approaches, whatever a lone dot might say. · Acercarse a una entrada desde la izquierda y la derecha — el límite es la altura compartida que la curva se aproxima, sin importar lo que pueda indicar un único punto.
To read $\lim_{x\to c} f(x)$ from a graph, you should look at... · Para leer $\lim_{x\to c} f(x)$ en una gráfica, debes mirar...
A limit is the shared height approached from both sides — the dot at $c$ is irrelevant. · Un límite es la altura compartida a la que se aproxima desde ambos lados; el punto en $c$ es irrelevante.
Left and right, read separately
- Trace from the left only → the left-hand limit 左极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Trace from the right only → the right-hand limit 右极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- On a graph a filled dot ● means the point is on the curve; an open dot ○ (a hole 洞) means it is not.
- The limit ignores whether the dot is filled or open — it only cares about the approach.
Izquierda y derecha, léelos por separado
- Desliza solo desde la izquierda → el límite lateral izquierdo 左极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Desliza solo desde la derecha → el límite lateral derecho 右极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- En una gráfica, un punto relleno ● indica que el punto pertenece a la curva; un punto vacío ○ (un hueco 洞) indica que no lo hace.
- El límite ignora si el punto está relleno o vacío — solo le importa el acercamiento.
A graph rises steadily and, just left of $x=5$, the curve is passing through heights $2.9, 2.99, 2.999$. Estimate $\lim_{x\to 5^-} f(x)$. · Una gráfica sube constantemente y, justo a la izquierda de $x=5$, la curva pasa por las alturas $2.9, 2.99, 2.999$. Estima $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
The left-hand values close in on $3$, so the left-hand limit is $3$. · Los valores del lado izquierdo se aproximan a $3$, por lo que el límite lateral izquierdo es $3$.
When the limit does not exist
- Three classic graph shapes make a limit fail (DNE):
- A jump 跳跃: the two sides trace to different heights.
- An unbounded 无界 blow-up: the curve rockets to $\pm\infty$ near a vertical asymptote.
- An oscillation 振荡: the curve wiggles infinitely fast (like $\sin\frac1x$) and never settles.
Cuando el límite no existe
- Tres formas clásicas de gráficas hacen que un límite no exista (DNE):
- Un salto 跳跃: los dos lados se dirigen a alturas diferentes.
- Un desbordamiento ilimitado 无界: la curva se dispara hacia $\pm\infty$ cerca de una asíntota vertical.
- Una oscilación 振荡: la curva se agita infinitamente rápido (como $\sin\frac1x$) y nunca se estabiliza.
If the left side of a graph heads to $2$ and the right side heads to $6$, the limit does not exist because of a ____. · Si el lado izquierdo de una gráfica se acerca a $2$ y el lado derecho se acerca a $6$, el límite no existe debido a un ____.
Different one-sided heights means a jump · salto discontinuity, so the two-sided limit is DNE. · Alturas laterales diferentes significan una discontinuidad de salto, por lo que el límite lateral no existe (DNE).
From a graph, select all · todos features that make $\lim_{x\to c} f(x)$ fail to exist. · A partir de una gráfica, selecciona todas las características que hacen que $\lim_{x\to c} f(x)$ no exista.
Blow-ups, jumps, and oscillation all kill a limit. A removable hole does not · no — both sides still agree. · Los crecimientos infinitos, saltos y oscilaciones anulan un límite. Un agujero evitable no lo hace —ambos lados aún coinciden.
The dot at $c$ is a decoy
- The height the curve reaches for, $\lim_{x\to c}f(x)$, is a separate question from the plotted value $f(c)$.
- A curve can head smoothly toward $4$ while a lone dot sits at $f(c)=1$ — the limit is still $4$.
- $f(c)$ can even be undefined (a hole) while the limit exists.
- So always answer two questions separately: where is the curve going? and is there a dot, and where?
El punto en $c$ es un señuelo
- La altura a la que la curva tiende, $\lim_{x\to c}f(x)$, es una pregunta separada del valor graficado $f(c)$.
- Una curva puede dirigirse suavemente hacia $4$ mientras un punto aislado se sitúa en $f(c)=1$ — el límite sigue siendo $4$.
- $f(c)$ incluso puede estar indefinido (un hueco) mientras el límite existe.
- Por lo tanto, siempre responde dos preguntas por separado: ¿hacia dónde se dirige la curva? y ¿hay un punto, y dónde está?
If the graph shows an open hole at $(2,4)$ and a filled dot at $(2,1)$, then $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$. · Si la gráfica muestra un agujero abierto en $(2,4)$ y un punto relleno en $(2,1)$, entonces $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
The curve approaches height $4$ from both sides, so the limit is $4$; the filled dot is only $f(2)=1$. · La curva se aproxima a la altura $4$ desde ambos lados, por lo que el límite es $4$; el punto relleno solo indica $f(2)=1$.
A smooth curve passes through height $7$ at $x=3$ with no hole or dot elsewhere. What are $f(3)$ and · y $\lim_{x\to 3} f(x)$? · Una curva suave pasa por la altura $7$ en $x=3$ sin agujeros ni puntos adicionales. ¿Cuáles son $f(3)$ y $\lim_{x\to 3} f(x)$?
With no hole or jump, the curve is continuous there, so limit $= f(3) = 7$. · Sin agujeros ni saltos, la curva es continua allí, por lo que límite $= f(3) = 7$.
A common trap: reading $f(c)$ (the plotted dot) when the question asks for $\lim_{x\to c}f(x)$ (the approach). They are different. If you see a filled dot floating above a smooth curve, the limit is the curve's height — not the dot's.
Una trampa común: leer $f(c)$ (el punto graficado) cuando la pregunta pide $\lim_{x\to c}f(x)$ (el acercamiento). Son diferentes. Si ves un punto relleno flotando sobre una curva suave, el límite es la altura de la curva — no la del punto.
From a graph: near $x=2$ the curve rises to a hole at height $4$, and a filled dot is plotted at $(2,\,1)$.
- Left-hand limit: heading to $4$. Right-hand limit: heading to $4$.
- Both agree, so $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- But $f(2) = 1$ (the filled dot). Limit $\neq$ function value here.
De una gráfica: cerca de $x=2$, la curva asciende hasta un hueco a la altura $4$, y se ha graficado un punto relleno en $(2,\,1)$.
- Límite lateral izquierdo: se dirige a $4$. Límite lateral derecho: se dirige a $4$.
- Ambos coinciden, por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- Pero $f(2) = 1$ (el punto relleno). Límite $\neq$ valor de la función aquí.
To read a limit off a graph, trace the curve toward $c$ from both sides and ask what height you head for; the plotted dot at $c$ is a decoy. The limit is DNE when the sides give different heights (jump), the curve is unbounded, or it oscillates endlessly.
Para leer un límite en una gráfica, desliza la curva hacia $c$ desde ambos lados y pregúntate a qué altura te diriges; el punto graficado en $c$ es un señuelo. El límite no existe (DNE) cuando los lados dan alturas diferentes (salto), la curva es ilimitada, o oscila sin fin.