Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant? · Introduciendo el Cálculo: ¿Puede ocurrir un cambio en un instante?
| English | Español |
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| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tasa promedio de cambio |
| slope/sləʊp/ | pendiente |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | recta secante |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | recta tangente |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tasa instantánea de cambio |
| limit/ˈlɪmɪt/ | límite |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
How fast, right now?
- Your car's speedometer reads $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ at a single instant.
- But speed is distance ÷ time — and at an instant, no time passes and no distance is covered.
- So how can you have a speed at a single moment?
- Answering this question is where calculus begins.
¿Qué tan rápido, ahora mismo?
- El velocímetro de tu auto marca $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ en un instante único.
- Pero la velocidad es distancia ÷ tiempo — y en un instante, no pasa tiempo ni se recorre distancia alguna.
- Entonces, ¿cómo puedes tener una velocidad en un momento exacto?
- Responder a esta pregunta es donde comienza el cálculo.
Average rate of change
- Over an interval, change is easy: it's the total change divided by the time taken.
- This is the average rate of change 平均变化率 of a function.
- On a graph it is the slope 斜率 of the straight line joining two points — a secant line 割线.
- Example: from $x=1$ to $x=3$, the average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Tasa promedio de cambio
- A lo largo de un intervalo, el cambio es fácil: es el cambio total dividido por el tiempo transcurrido.
- Esta es la tasa promedio de cambio 平均变化率 de una función.
- En una gráfica, es la pendiente 斜率 de la recta recta que une dos puntos — una recta secante 割线.
- Ejemplo: desde $x=1$ hasta $x=3$, la tasa promedio es $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
The slope of a secant line between two points on a curve gives the... · La pendiente de una recta secante entre dos puntos en una curva da la...
A secant joins two points, so its slope is the average rate of change over that interval. · Una secante une dos puntos, por lo que su pendiente es la tasa de cambio promedio sobre ese intervalo.
Squeeze the two points together
- Now slide the second point closer and closer to the first.
- The secant line pivots and gets closer to just touching the curve at one point.
- That touching line is the tangent line 切线.
Juntar los dos puntos
- Ahora desliza el segundo punto cada vez más cerca del primero.
- La recta secante gira y se acerca a solo tocar la curva en un punto.
- Esa línea de contacto es la recta tangente 切线.
As the second point slides toward the first, the secant line approaches the... · A medida que el segundo punto se desliza hacia el primero, la recta secante se aproxima a la...
The secant pivots until it just touches the curve — it approaches the tangent line. · La secante gira hasta que solo toca la curva — se aproxima a la recta tangente.
The instantaneous rate of change
- The slope of the tangent line is the instantaneous rate of change 瞬时变化率 at that point.
- That is the speedometer reading — the rate at one exact instant.
- For a position-time graph, it is the instantaneous velocity.
La tasa de cambio instantánea
- La pendiente de la recta tangente es la tasa de cambio instantánea 瞬时变化率 en ese punto.
- Esa es la lectura del velocímetro — la tasa en un instante exacto.
- Para una gráfica de posición-tiempo, es la velocidad instantánea.
Average rate or instantaneous rate? · ¿Tasa promedio o tasa instantánea?
Decide whether each quantity is measured over an interval or at a single instant. · Decida si cada cantidad se mide sobre un intervalo o en un instante único.
The slope of the tangent line is the ____ rate of change. · La pendiente de la recta tangente es la tasa de cambio ____.
The · El tangent line touches at one point, so its slope is the instantaneous rate of change there. · La recta tangente toca en un solo punto, por lo que su pendiente es la tasa de cambio instantánea allí.
You cannot find the instantaneous rate by plugging in one point — that gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You have to watch what the average rate approaches as the interval shrinks.
No puedes encontrar la tasa instantánea simplemente evaluando un punto; eso da $\tfrac{0}{0}$, que está indefinido. Debes observar hacia qué valor se aproxima la tasa promedio a medida que el intervalo se encoge.
You can find the instantaneous rate of change by plugging a single point into the average-rate formula. · Usted puede encontrar la tasa de cambio instantánea al sustituir un solo punto en la fórmula de la tasa promedio.
That gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You must take the limit as the interval shrinks to zero. · Eso da $\tfrac{0}{0}$, que está indefinido. Debe tomar el límite cuando el intervalo se reduce a cero.
This "approaches" is a limit
- We never actually divide by zero; we ask what value the slope approaches.
- That value is a limit 极限 — the central idea of calculus.
- The limit of the average rate of change, as the interval shrinks to zero, is called the derivative 导数.
- The whole first unit of the course is about making this idea precise.
Ese "se aproxima" es un límite
- Nunca dividimos realmente por cero; preguntamos hacia qué valor se aproxima la pendiente.
- Ese valor es un límite 极限 — la idea central del cálculo.
- El límite de la tasa promedio de cambio, a medida que el intervalo se reduce a cero, se llama derivada 导数.
- Toda la primera unidad del curso trata sobre precisar esta idea.
Select all · todos true statements about the derivative at a point. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre la derivada en un punto.
The derivative is the limit of average rates as the interval shrinks — the tangent slope, i.e. the instantaneous rate. · La derivada es el límite de tasas promedio cuando el intervalo se reduce — la pendiente de la tangente, es decir, la tasa instantánea.
A ball's height is $h(t) = 5t^2$ metres. Estimate its speed at $t=2$ s.
- Average rate from $t=2$ to $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- From $t=2$ to $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- The values close in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed.
La altura de una pelota es $h(t) = 5t^2$ metros. Estima su velocidad en $t=2$ s.
- Tasa promedio de $t=2$ a $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- De $t=2$ a $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Los valores se acercan a $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ese límite es la velocidad instantánea.
A ball's height is $h(t)=5t^2$ m. Estimate its instantaneous speed at $t=2$ s (in m/s). · La altura de una pelota es $h(t)=5t^2$ m. Estime su velocidad instantánea en $t=2$ s (en m/s).
Shrinking the interval, the average rate closes in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed. · Al reducir el intervalo, la tasa promedio se acerca a $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — ese límite es la velocidad instantánea.
Average rate of change = slope of a secant line over an interval. Shrink the interval to zero and the secant approaches the tangent line, whose slope is the instantaneous rate of change. That limiting value is the derivative.
Tasa promedio de cambio = pendiente de una recta secante sobre un intervalo. Encoge el intervalo a cero y la secante se aproxima a la recta tangente, cuya pendiente es la tasa de cambio instantánea. Ese valor límite es la derivada.