Enfoque HL apoyado. Primera evaluación 2021; actual a través de 2028. El curso de primera-evaluación-2029 es independiente. La guía restante, los requisitos de evaluación y prácticos conservan sus retenciones registradas.
Requisitos previos: lea las cantidades y unidades indicadas, utilice aritmética y las condiciones del modelo a continuación. Cada lección desarrolla su propio método antes de la transferencia independiente.
Estos son ejemplos didácticos originales o explícitamente ficticios, no mediciones reales ni investigaciones evaluadas completas de estudiantes.
Una carretera curva tiene diferentes pendientes en distintas posiciones. Una pendiente promedio no puede describir cada punto.
Esta lección estudia derivada: La tasa de cambio instantánea, también la pendiente de una tangente.
Elige la estructura matemática
Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un punto estacionario satisface dy/dx=0. Verifique el cambio de signo de la derivada, o la segunda derivada cuando sea distinta de cero, para clasificarlo.
Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Ejemplo:
Para y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pendiente es 0 y y=-2. La segunda derivada es 6x, positiva en x=1, por lo que se trata de un mínimo local. En x=-1, y=2 y la segunda derivada es negativa, lo que da lugar a un máximo local.
Pon a prueba un atajo tentador
Una derivada nula no siempre significa un máximo o un mínimo: y=x³ es estacionaria en 0 pero sigue aumentando. Un extremo también puede aparecer en un dominio restringido.
Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Advertencia:
Todo punto con derivada nula es un máximo o un mínimo local. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
Interpreta una situación nueva
En GCSE/IGCSE use solo el alcance polinómico permitido según el nivel; no añada las reglas de la cadena, producto o cociente en ese nivel. En niveles avanzados, conecte la derivada con tasas y optimización dentro de un dominio válido.
Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Utilízalo en tu curso
Aplicaciones e Interpretación HL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Clave:
La tasa de cambio instantáneo, también conocida como la pendiente de una tangente. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.
5.3
Búsqueda de raíces e integración numérica
¿Qué fiabilidad tiene una aproximación?
Una ecuación no lineal no tiene una solución exacta conveniente. Una aproximación aún necesita evidencia de que es confiable.
Esta lección estudia iteración: Una actualización repetida en la que cada nueva aproximación se calcula a partir de la anterior.
Elige la estructura matemática
Una función continua con signos opuestos en dos extremos tiene una raíz entre ellos. El método de Newton usa x_siguiente=x-f(x)/f'(x), con una derivada distinta de cero. La regla del trapecio aproxima una integral definida usando alturas en los extremos.
Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Desarrolla un caso verificado
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}$$
Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Ejemplo:
Para f(x)=x²-2 y x₀=1.5, Newton da x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667. Con y=x² en [0,2] y dos franjas iguales, h=1 y área del trapecio=(1/2)(0+2×1+4)=3; el área exacta es 8/3.
Pon a prueba un atajo tentador
Un cambio de signo a través de una discontinuidad no prueba la existencia de una raíz. La iteración puede divergir o ciclar. La sobreestimación o subestimación de la regla del trapecio depende de la curvatura, no solo de si la función aumenta.
Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Advertencia:
Cada cambio de signo demuestra una raíz, incluido uno a través de una discontinuidad. Esta afirmación es falsa. Explica qué definición o suposición viola.
Interpreta una situación nueva
Proporcione un criterio de parada y informe una precisión razonable. Confirme la raíz aproximada mediante un intervalo de signos alrededor de la respuesta redondeada indicada; explique cualquier fallo en la iteración elegida.
Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Utilízalo en tu curso
Aplicaciones e Interpretación HL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Clave:
Una actualización repetida en la que cada nueva aproximación se calcula a partir de la anterior. Elige la relación, muestra el método, verifica sus supuestos e interpreta el resultado.
5.4
Regla de la cadena, producto, cociente e implicita
¿Cambia también la expresión interna?
Una curva de costos es una potencia de una expresión variable. Derivar solo la potencia exterior omite la tasa de variación de su entrada.
Esta lección estudia la regla de la cadena: la regla que multiplica la derivada externa por la derivada interna en una función compuesta.
Elige la estructura matemática
Para y=f(g(x)), y' = f'(g(x))g'(x). Para uv, derive como u'v+uv'. Para u/v, use (u'v-uv')/v², donde v≠0.
Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Ejemplo:
Para y=(3x+1)^4, y' =4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. En x=0, la pendiente es 12. Para x²+y²=25, derive implícitamente: 2x+2y y' =0, así que y' = -x/y cuando y≠0.
Pon a prueba un atajo tentador
La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. En la diferenciación implícita, cada función derivada de y introduce un factor dy/dx. El denominador de un cociente se eleva al cuadrado.
Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Advertencia:
La derivada de u(x)v(x) es siempre u' veces v'. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o suposición viola.
Interpreta una situación nueva
Elija una forma útil antes de derivar: expandir un polinomio corto puede ser más sencillo. Para tasas relacionadas, escriba la relación en símbolos, derive respecto al tiempo y luego sustituya los valores medidos.
Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Utilízalo en tu curso
Aplicaciones e Interpretación HL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Clave:
La regla que multiplica la derivada externa por la derivada interna en una función compuesta. Elija la relación, muestre el método, verifique sus supuestos e interprete el resultado.
5.5
Sustitución, integración por partes y fracciones parciales
¿Podemos integrar los dos factores por separado?
Un producto que parece simple como xe^x no se puede integrar integrando cada factor por separado.
Esta lección estudia la integración por partes: un método de integración basado en la derivada de un producto.
Elige la estructura matemática
Use sustitución cuando aparezca como factor la derivada interna. Por partes, integral u v prime =uv-integral u prime v. Para una función racional, divida primero si es necesario, luego descomponga en fracciones parciales.
Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Desarrolla un caso verificado
$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$
Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Ejemplo:
Para integral xe^x dx, tome u=x y v prime=e^x. Entonces la integral es xe^x-e^x+C. Para integral 2x/(x²+1) dx, sustituya w=x²+1, dw=2x dx; la respuesta es ln(x²+1)+C.
Pon a prueba un atajo tentador
Elegir bien u y v prime es importante: la integral restante debería volverse más simple. En una sustitución definida, cambie los límites o vuelva a x antes de aplicar los límites originales.
Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Advertencia:
La integral de un producto es igual al producto de sus integrales separadas. Esta afirmación es falsa. Explica qué definición o suposición viola.
Interpreta una situación nueva
Verificar derivando. Para volúmenes de revolución alrededor del eje x usar V=π∫y² dx; no confundir el cuadrado de una función con la integral de la función.
Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Utilízalo en tu curso
Aplicaciones e Interpretación HL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Clave:
Un método de integración basado en la derivada de un producto. Elegir la relación, mostrar el método, verificar sus supuestos e interpretar el resultado.
5.6
Ecuaciones diferenciales y soluciones numéricas
¿Qué decide el valor inicial?
La tasa de crecimiento de una población es proporcional a su tamaño actual. La ecuación de tasa describe toda una familia hasta que se proporciona una población inicial.
Esta lección estudia condición inicial: Un valor especificado que selecciona una solución particular de una familia.
Elige la estructura matemática
Para dy/dx=ky, separen variables: dy/y=k dx, obteniendo y=Ae^(kx). Use una condición inicial para encontrar A. El método de Euler toma y siguiente=y+h f(x,y), con un paso h elegido.
Establezca las entradas permitidas y las unidades antes de calcular. Una ecuación debe expresar la relación, no solo registrar una entrada de calculadora.
Desarrolla un caso verificado
$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$
Verifique el resultado contra las cantidades iniciales. Sustituya en la relación original, o compare la gráfica y la respuesta numérica según corresponda.
Ejemplo:
Con dy/dx=0.5y y y(0)=2, y=2e^(0.5x). Euler con h=0.2 da y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 y y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. El segundo valor exacto es aproximadamente 2.4428.
Pon a prueba un atajo tentador
Una condición inicial determina la constante de integración; no reemplaza a la integración. Dividir por y puede omitir una solución de equilibrio y=0. La precisión de Euler depende del tamaño del paso y la ecuación.
Cuando un atajo falla, identifique la suposición que rompe. Mantenga un valor exacto hasta el redondeo final solicitado.
Advertencia:
Cada tamaño de paso da exactamente la misma aproximación de Euler. Esta afirmación es falsa. Explique qué definición o supuesto viola.
Interpreta una situación nueva
Para ecuaciones lineales de segundo orden, combine la función complementaria con una integral particular adecuada y aplique las condiciones iniciales requeridas. Este tema forma parte del contenido de Further Pure; consulte la unidad designada.
Una solución completa proporciona el resultado matemático y explica lo que significa. Verifique si es posible en el contexto declarado.
Utilízalo en tu curso
Aplicaciones e Interpretación HL de primera evaluación-2021 actual. Este es apoyo conceptual redactado; se necesita la guía completa para certificar cada objetivo.
Proporcione el método antes de la respuesta final, y use las reglas de calculadora y fórmulas del examen. Revise una respuesta incorrecta localizando el primer paso inválido.
Clave:
Un valor especificado que selecciona una solución particular de una familia. Elegir la relación, mostrar el método, verificar sus supuestos e interpretar el resultado.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
