1 · Números y álgebra

Esta hoja cubre temas seleccionados de HL para el curso de primera evaluación en 2021; no constituye el programa completo.

Requisitos previos: leer las cantidades y unidades indicadas, y aplicar aritmética y las condiciones del modelo siguientes.

Los ejemplos son originales y ficticios: no son mediciones reales ni investigaciones estudiantiles reales.

¿Podemos empaquetar sin sobrantes?

• Un proveedor empaca 72 lápices y 90 bolígrafos en bolsas de regalo idénticas. ¿Cómo podemos evitar las sobras?
• Esta lección estudia el factor primo: un número primo que divide al entero exactamente.

El método

• Los factores primos revelan la estructura compartida.
• Usa las potencias primas comunes más pequeñas para el MCD y las más grandes para el mcm.
• Estimar antes de calcular; usar paréntesis para preservar el orden de las operaciones.

Caso resuelto

Ejemplo:

72=2^3×3^2 y 90=2×3^2×5. Su MCD es 2×9=18. Prepare 18 bolsas con 4 lápices y 5 bolígrafos cada una. Su MCM es 2^3×3^2×5=360.

Dónde falla

• El MCD divide a ambos números; el MCM es un múltiplo de ambos.
• Responden a preguntas diferentes.
• Una estimación decimal no es una fracción exacta.

No es cierto: El MCD de dos enteros positivos es siempre mayor que cualquiera de los enteros. El MCD divide a ambos números, por lo que nunca puede ser mayor que el menor: el MCD de 72 y 90 es 18.

Aplicarlo

• Para un examen sin calculadora, mantener las fracciones exactas y mostrar la simplificación.
• Para un examen con calculadora, introducir la expresión completa y compararla con la estimación.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.

Clave:

• Factor primo: Un número primo que divide al entero exactamente.
• Los factores primos revelan la estructura compartida.
• Prestar atención: el MCD divide a ambos números; el MCM es un múltiplo de ambos.

Escribir a partir de un MCD de 6

• Encuentra el MCD y el mcm de 18 y 30.
• El MCD es menor que ambos enteros.

¿Qué tan pequeña es una longitud microscópica?

• Un microscopio registra una longitud de 0.000072 metros. Una representación compacta debe mantener su tamaño correcto.
• Esta lección estudia índices: La potencia a la cual se eleva una base.

El método

• Para la misma base positiva, la multiplicación suma exponentes y la división los resta.
• Un exponente negativo significa recíproco; un exponente fraccionario representa una raíz.
• La notación científica tiene 1≤a<10.

Caso resuelto

Ejemplo:

0.000072=7.2×10^(-5). Además 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Simplifica √72=6√2, luego racionaliza $1/\sqrt{2}$=√2/2.

Dónde falla

• Las leyes de exponentes no convierten una suma en una sola potencia: 2^3+2^4=24, no 2^7.
• No redondees un radical cuando se solicite una respuesta exacta.

Falso: Para todo positivo a, a^2+a^3 iguala a^5. Las leyes de exponentes solo suman potencias cuando los términos se multiplican: 2²+2³=12, pero 2⁵=32.

Aplicarlo

• Verificar las potencias de diez contra la cantidad original.
• Usar radicales para geometría exacta y redondear solo la longitud final cuando la pregunta lo solicite en decimal.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Índice: La potencia a la que se eleva una base.
• Para la misma base positiva, la multiplicación suma exponentes y la división los resta.
• Cuidado: las leyes del índice no convierten una suma en una sola potencia: 2^3+2^4=24, no 2^7.

Escribir desde 8 elevado a la potencia 2/3

• Evaluar 8 elevado a la potencia 2/3.
• Un cuadrado más un cubo no equivale a la quinta potencia.

¿El cambio suma o multiplica?

• Un plan de ahorros añade ¥30 más cada semana; un modelo de población crece en 5% cada año. Diferencias iguales y razones iguales requieren modelos diferentes.
• Esta lección estudia la razón común: El multiplicador constante entre términos consecutivos de una progresión geométrica.

El método

• Para una progresión aritmética, u_n=a+(n-1)d y S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Para una progresión geométrica, u_n=ar^(n-1) y S_n=a(1-r^n)/(1-r).
• Una suma geométrica infinita existe solo si |r|<1.

Caso resuelto

Ejemplo:

Para a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 y S_8=8(10+21)/2=124. Para a=12, r=1/2, S infinito=12/(1-1/2)=24. Para u_(n+1)=2u_n+1 con u_1=1, los siguientes términos son 3,7,15.

Dónde falla

• El primer término tiene índice 1, por lo que el exponente es n-1.
• Una secuencia es una lista; una serie es una suma.
• Una secuencia geométrica puede alternar signos y aún converger.

Falso: Toda serie geométrica tiene una suma finita al infinito. Una suma al infinito existe solo cuando −1<r<1; para r=2 los términos crecen sin límite.

Aplicarlo

• Explique si el contexto justifica un cambio aditivo o multiplicativo.
• En finanzas, distinga un depósito único de una serie de depósitos antes de elegir una fórmula de suma.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Razón común: El multiplicador constante entre términos consecutivos de una secuencia geométrica.
• Para una progresión aritmética, u_n=a+(n-1)d y S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Tenga en cuenta: el primer término tiene índice 1, por lo que el exponente es n-1.

Escribir desde el término 4 17

• Una progresión aritmética tiene primer término 8 y diferencia común 3.
• Encuentra el término 4. Una serie geométrica infinita requiere una razón común cuyo valor absoluto sea inferior a 1.

¿Podemos recuperar el precio original?

• Un abrigo tiene un descuento del 20% a ¥240. El descuento se aplica al precio original, no al precio de oferta.
• Esta lección estudia multiplicador: Un factor que realiza un cambio porcentual en una sola multiplicación.

El método

• Un aumento de p% tiene un multiplicador de 1+p/100; una disminución tiene un multiplicador de 1-p/100.
• Invertir un porcentaje dividiendo por el multiplicador.
• En una proporción, primero encontrar el número total de partes.

Caso resuelto

Ejemplo:

Sea P el precio original. El modelo es precio de venta=0.8P. Por tanto P=240/0.8=300. Un posterior aumento del 20% da 240×1.2=288, por lo que los dos cambios no se cancelan.

Dónde falla

• Un porcentaje utiliza una base declarada.
• Restar los porcentajes pierde la base original.
• Para cambios compuestos, multiplique los multiplicadores; no sume los porcentajes.

No es cierto: Una disminución del 20% seguida de un aumento del 20% restablece el precio inicial. El aumento del 20% se aplica a una cantidad menor: 100×0.8×1.2=96, no 100.

Aplicarlo

• Para proporcionalidad directa use y=kx; para proporcionalidad inversa use y=k/x.
• Calcule k a partir de un par conocido antes de usar un nuevo valor.
• Indique qué mantuvo constante.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Multiplicador: Factor que realiza un cambio porcentual en una sola multiplicación.
• Un aumento de p% tiene un multiplicador de 1+p/100; una disminución tiene un multiplicador de 1-p/100.
• Preste atención: Un porcentaje se basa en un valor indicado.

Escribir a partir de un precio final de 240

• Un precio de 250 disminuye en un 20 por ciento y luego aumenta en un 20 por ciento.
• Encontrar el precio final. Los dos cambios no se cancelan entre sí.

¿Qué sucede si la raíz no es real?

• La ecuación x²+1=0 no tiene raíces reales. Ampliar el sistema numérico nos permite representar y calcular ambas raíces.
• Esta lección estudia el conjugado complejo: El número obtenido invirtiendo el signo de la parte imaginaria.

El método

• Escribe z=a+bi donde i²=-1.
• El conjugado es a-bi y z por su conjugado=a²+b².
• El módulo es √(a²+b²); el argumento necesita el cuadrante correcto.
• Las raíces conjugadas aparecen en polinomios con coeficientes reales.

Caso resuelto

Ejemplo:

Para z=3+4i, |z|=5 y el conjugado de z=3-4i. El recíproco es (3-4i)/25. Para x²-6x+13=0, las raíces son 3±2i. Multiplicar por el conjugado hace que un denominador complejo sea real.

Dónde falla

• La raíz cuadrada de una suma no es la suma de las raíces cuadradas.
• Una tangente inversa sola puede devolver el cuadrante incorrecto.
• No confundas el módulo con el módulo al cuadrado.

No es cierto: Para a+bi, su módulo es siempre a+b. El módulo es √(a²+b²): para 3+4i es 5, no 7.

Aplicarlo

• Dibuja el eje real horizontalmente y el eje imaginario verticalmente.
• Para productos, los módulos se multiplican y los argumentos se suman; las potencias extienden este patrón geométrico mediante el teorema de De Moivre.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Conjugado complejo: El número obtenido al invertir el signo de la parte imaginaria.
• Escribe z=a+bi donde i²=-1.
• Ten cuidado: la raíz cuadrada de una suma no es la suma de las raíces cuadradas.

Escribir a partir de un módulo de 13

• Encuentra el módulo de 5 más 12 i.
• El módulo no es la suma de las dos partes.

¿Cómo afecta un cambio pequeño a una potencia?

• Un pequeño cambio en una medición afecta a una potencia de una cantidad. Una expansión puede mostrar el tamaño de los efectos de primer y segundo orden.
• Esta lección estudia el coeficiente binomial: El número de formas de elegir una cantidad especificada de objetos de un conjunto.

El método

• Para entero positivo n, (a+b)^n es una expansión binomial finita.
• Para n no entero, expanda (1+x)^n como 1+nx+n(n-1)x²/2+... con |x|<1.
• Extraiga las constantes antes de usar esta forma.

Caso resuelto

Ejemplo:

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. Para (1+x)^(-1), los primeros tres términos son 1-x+x²; en x=0.1 esto da 0.91 frente al exacto 1/1.1≈0.909091.

Dónde falla

• Una expansión en 2x requiere que |2x|<1 para la serie infinita, no simplemente |x|<1.
• Las expansiones con exponente entero positivo son finitas y no tienen esa restricción de convergencia.

No es cierto: Toda expansión binomial es un polinomio finito, incluidas las potencias que no son enteros positivos. Para una potencia negativa o fraccionaria, la expansión es una serie infinita válida solo para |x|<1.

Aplicarlo

• Indique el rango de validez junto con una aproximación.
• Retenga suficientes términos para respaldar la precisión solicitada y distinga un coeficiente del término completo que contiene x.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Coeficiente binomial: El número de formas de elegir una cantidad especificada de objetos de un conjunto.
• Para entero positivo n, (a+b)^n es una expansión binomial finita.
• Tenga cuidado: una expansión en 2x requiere que |2x|<1 para la serie infinita, no simplemente |x|<1.

Escribir a partir de un coeficiente de 54

• Encontrar el coeficiente de x al cuadrado en (1 más 3x) elevado a la potencia 4.
• Una expansión binomial es finita solo para una potencia entera no negativa.

¿Puede un polinomio reemplazar a una exponencial cerca del punto?

• Cerca de un punto conocido, una función compleja puede ser reemplazada por una aproximación polinómica. La aproximación necesita un centro y una escala válida.
• Esta lección estudia el polinomio de Taylor: Un polinomio formado a partir de las derivadas de una función en un centro elegido.

El método

• Alrededor de x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... cuando la expansión es válida.
• En a=0 se trata de una expansión de Maclaurin.
• Las sumas finitas también pueden simplificarse mediante cancelación o fórmulas estándar de suma.

Caso resuelto

Ejemplo:

Los tres primeros términos de e^x son 1+x+x²/2. En x=0.1 esto da 1.105, cercano a e^0.1≈1.105170. Para la suma de k² desde k=1 hasta 5, n(n+1)(2n+1)/6 da 5×6×11/6=55.

Dónde falla

• El factorial debe aparecer en el denominador de cada coeficiente de Taylor.
• El centro de la expansión no siempre es cero.
• Una aproximación cercana a su centro puede ser deficiente lejos de él.

Falso: Un polinomio de Taylor es siempre exacto para la función original en cada entrada. Un polinomio de Taylor es una aproximación; suele ser preciso solo cerca de su centro.

Aplicarlo

• Para una serie telescópica, escribe varios términos e identifica ambos extremos que permanecen.
• Para una aproximación de Taylor, indica su orden y compárala con un valor conocido o una estimación del residuo cuando sea necesario.

En tu curso

• Análisis y Enfoques HL, la materia evaluada por primera vez en 2021.
• El papel 1 es sin calculadora: mantener fracciones, radicales y π exactos y mostrar cada paso. En los papeles con calculadora, escribir también la expresión antes de su valor.

Clave:

• Polinomio de Taylor: Polinomio formado a partir de las derivadas de una función en un centro elegido.
• Alrededor de x=a, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+... cuando la expansión es válida.
• Ten cuidado: el factorial pertenece al denominador de cada coeficiente de Taylor.

Escribir a partir de una suma de cuadrados de 30

• Encontrar la suma de k al cuadrado desde k = 1 hasta 4.
• Usar 1 más x más x al cuadrado sobre 2 para estimular e elevado a la potencia 0.2. Un polinomio de Taylor no es exacto en cada entrada.

Escribir a partir de una suma de 5050

• Encontrar la suma de k desde k = 1 hasta 100.
• Emparejamiento de Gauss: 1 + 100, 2 + 99, … da 50 pares de 101, por lo tanto 5 050.

Escribir a partir de una estimación de segundo orden de 1.22

• Usa 1 + x + x² sobre 2 en x = 0.2.
• La estimación es 1.22 frente a un valor real cercano a 1.2214; el término faltante x³/6 (aproximadamente 0.0013) representa la magnitud del error de truncamiento.