S3 · Statistics 3

Estadística 3 (S3, papel WST03/01, 1 hora 30 minutos, 75 puntos, primera evaluación junio 2020) es la unidad final de estadística: se asumen S1–S2. El folleto incluye la Normal y las tablas de chi-cuadrado además de los valores críticos de Spearman. Esta referencia cubre combinaciones de variables Normales, métodos de muestreo, estimadores y la distribución de la media muestral, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis para medias (una y dos muestras), bondad de ajuste y tablas de contingencia, y correlación de rangos con su prueba.

Conocimiento esencial para S3 (no incluido en el folleto):

Las variables Normales independientes se combinan en una Normal: sumar las medias, sumar los coeficientes al cuadrado por las varianzas. Para $3S$ donde $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — la media triplica pero la varianza multiplica por nueve. Las diferencias funcionan de igual manera: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, y $P(|C_1 - C_2| > c)$ es el doble de la cola única por simetría.

Ejemplo resuelto (WST03 Junio 2025 P8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ de forma independiente (kg). (a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (dt 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) Con $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, el evento $T < 30P_1 + 190$ se reorganiza en $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — una Normal con media $504 + 125 - 435 = 194$ y varianza $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, por lo tanto $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

La muestra aleatoria simple otorga a cada miembro (y a cada muestra de tamaño $n$) igual probabilidad; utilice números aleatorios en un marco de muestreo. Muestreo sistemático toma cada ⟨$x$⟩-ésimo miembro desde un inicio aleatorio — para 20 de 360, $x = 18$; funciona bien con listas ordenadas y elimina el sesgo del seleccionador, pero los miembros en el mismo tramo nunca pueden aparecer juntos (los espacios están bloqueados). Muestreo estratificado divide por estratos y muestrea cada uno proporcionalmente — ideal cuando los grupos difieren internamente. Muestreo por cuotas llena cuotas establecidas por el entrevistador sin marco — económico pero vulnerable al sesgo del entrevistador. Conozca una ventaja y una desventaja de cada método.

Una estadística no contiene parámetros poblacionales desconocidos. Un estimador es insesgado si su esperanza es igual al parámetro; su sesgo es la diferencia: $\bar X$ para $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ para $\sigma^2$ (la $n-1$ es la corrección). El sesgo tiene signo y magnitud de $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$. La media muestral satisface $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: las muestras más grandes reducen el error estándar $\sigma/\sqrt n$.

Ejemplo resuelto (WST03 Junio 2025 P6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, por lo que $R$ está sesgado con sesgo $\tfrac\mu4$. Dado $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ y $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ ambos insesgados: las esperanzas fuerza $a - b = 2$ y $14a + 6b = 20$, por lo que $a = 1.6$, $b = -0.4$.

Ejemplo resuelto — recuperación de parámetros (WST03 Junio 2025 P7). Dado $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ y $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: los valores z son $-0.4$ y $2.1$, por lo tanto $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ y $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) y $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; entonces $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

Un intervalo de confianza para $\mu$ (varianza conocida) es $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ con $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (unilateralmente 95% crítico), $2.5758$ (99%). Interpretación: el procedimiento captura $\mu$ en 95% de las muestras — no "la probabilidad de que μ esté dentro es 0.95". La estadística de prueba $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; cuando la varianza es desconocida y $n$ es grande, sustituya $s$ (el Teorema del Límite Central también permite distribuciones no Normales cuando $n$ es grande). Las conclusiones expresan la evidencia en contexto.

Ejemplo resuelto — dos muestras con separación (WST03 junio 2025 Q4). Ardillas grises ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) y rojo ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, dando $\bar y = 290$ y $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ al 5%:

por lo tanto rechazar H₀ — la media gris es más de 200 g que la roja. La suposición de sustitución de varianzas ($\sigma^2 = s^2$ para cada población) es lo que justifica la fórmula.

Ajuste de bondad compara las frecuencias observadas con las esperadas según un modelo: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. Grados de libertad = (celdas − 1) − (parámetros estimados a partir de los datos): una binomial con p̂ estimado pierde otro grado más. Combine celdas de cola cuya frecuencia esperada sea inferior a 5 antes que nada. Tablas de contingencia prueban la asociación entre dos clasificaciones con $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ y $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

Ejemplo resuelto — ajuste binomial (WST03 junio 2025 Q5). Machos en 250 camada de 5 $O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$, por lo que con el $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$ dado para el resto, frecuencias $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$. La clase $r$ contribuye $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, por lo tanto, con el $\sum = 5.70$ dado para el resto, $X^2 = 10.95$ on degrees of freedom $6 - 1 - 1 = 4$; the 5% critical value 9.488 is exceeded — reject: el modelo binomial no es adecuado.

Ejemplo resuelto — asociación (WST03 Junio 2025 P3). Tipo de motor × inicio del problema temporización (250 coches, 3×3): la celda diésel/mes 1–6 tiene $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; con 7.444 para las otras ocho celdas, $X^2 = 12.325 > 9.488$ en 4 gl — evidencia de una asociación entre el tipo de motor y cuándo comienzan los problemas.

Coeficiente de correlación de rangos de Spearman mide el acuerdo monótono entre dos clasificaciones; compare $\text{H}_0\colon\rho = 0$ con la tabla y concluya en palabras sobre las clasificaciones.

Coeficiente de correlación de rangos de Spearman $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ mide el acuerdo monótono entre dos clasificaciones (sin empates examinados). Compare $\text{H}_0\colon \rho = 0$ con alternativas de cola única o doble usando la tabla de valores críticos; concluya en contexto ("evidencia insuficiente de acuerdo positivo entre los jueces"). evidencia de acuerdo positivo entre los jueces").

Ejemplo resuelto (WST03 junio 2025 Q2). Dos jueces clasifican 10 actuaciones: el rango unilateral, el valor crítico es $\sum d^2 = 66$: $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$, por lo tanto no se rechaza H1 — nivel de una cola el valor crítico es 0.7455: $0.6 < 0.7455$, por lo tanto no rechazar H₀ — evidencia insuficiente de correlación positiva entre los rangos de los jueces.

• Combinar variables Normales independientes (cuadrados de coeficientes en las varianzas); manejar diferencias y |diferencias| por simetría.
• Nombrar y justificar los cuatro métodos de muestreo; calcular el espaciado sistemático y sus propiedades de imposibilidad.
• Verificar estadísticas para parámetros, calcular esperanzas para sesgo, resolver ecuaciones de estimadores insesgados pareados.
• Usar DE σ/√n; recuperar (μ, σ) a partir de dos probabilidades de media muestral; calcular probabilidades para X̄.
• Construir e interpretar intervalos de confianza basados en z; realizar pruebas de una y dos muestras con sustitución de varianza y CLT enunciado.
• Calcular frecuencias esperadas (modelo o tabla de contingencia), combinar celdas bajas, restar parámetros estimados de los gl, comparar con la tabla χ².
• Calcular rₛ de Spearman a partir de rangos y probar contra la tabla con hipótesis en símbolos y conclusión en palabras.