Estadística 2: distribuciones, variables continuas y pruebas de hipótesis
Estadística 2 (S2, examen WST02/01, 1 hora 30 minutos, 75 puntos, primera evaluación junio 2020) sigue S1 en la ruta aplicada: P1–P2 y S1 se asumen. El folleto contiene las tablas binomial, Poisson y Normal. Esta referencia cubre las distribuciones binomial y Poisson con sus aproximaciones, variables aleatorias continuas, la distribución uniforme, muestreo y el procedimiento completo de prueba de hipótesis.
Conocimientos obligatorios para S2 (no incluidos en el folleto):
| Familia | Fórmulas |
|---|---|
| binomial | $X\sim B(n, p)$: $E(X) = np$, $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$, $P(X = r) = \binom nr p^r(1-p)^{n-r}$ |
| Poisson | $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$; las tasas escalan con el tiempo |
| continua | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $f(x) = F'(x)$, $E(X) = \int xf(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f(x)\,dx$ |
| uniforme | en $[a, b]$: media $\tfrac{a+b}2$, varianza $\tfrac{(b-a)^2}{12}$, densidad $\tfrac1{b-a}$ |
Distribuciones binomial y de Poisson
Distribución binomial: $n$ ensayos independientes, probabilidad constante $p$ — las dos suposiciones que se deben indicar contexto. Distribución de Poisson: los eventos ocurren individualmente, de forma independiente, a una tasa promedio constante; la tasa se escala ($\mathrm{Po}(\lambda)$ por minuto da $\mathrm{Po}(5\lambda)$ en 5 minutos). Momentos viene como fórmulas: $np$ y $np(1-p)$; $\lambda$ y $\lambda$. Dada la media y la varianza de una binomial, resuelve para $n$ y $p$ simultáneamente. La aproximación de Poisson a la binomial necesita $n$ grande y $p$ pequeña (usa $\lambda = np$).
Ejemplo resuelto — momentos luego aproximaciones (WST02 junio 2025 Q3). Azules por bolsa pequeña tienen media 3 y varianza 2.55: $np = 3$ y $np(1-p) = 2.55$ dan $1 - p = 0.85$, así que $p = 0.15$ y $n = 20$. Una bolsa mediana de 40 con 20% verdes: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, y $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. Una bolsa grande de 80 con 10% amarillas: con $n = 80$ grandes y $p = 0.1$ pequeñas, $X\approx\mathrm{Po}(8)$ y $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$.
Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad $f$ con área total 1 y $P(X = x) = 0$ en cada punto; la función de distribución acumulativa $F(x) = P(X \le x)$ satisface $f = F'$ y $F(a) = \int_{-\infty}^a f$. Densidades por tramos: normaliza $\int f = 1$ (que fija la constante desconocida), luego lee el mediana ($F = \tfrac12$), cuartiles y la moda desde el pico de $f$ (iguala $f' = 0$ o inspecciona esquinas). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; asimetría compara media, mediana y moda.
![Izquierda: la CDF F(x) = (6x^2 - x^4)/5 en [0, 1] ascendiendo de 0 a 1 con la mediana marcada en F = 1/2 (x = 0.671). Derecha: la densidad f(x) = (12x - 4x^3)/5 con la moda en x = 1 y el área más allá de x = 0.6 sombreada (0.594).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-cdf-pdf.png?v=1792758424)
Ejemplo resuelto — una CDF resuelta paso a paso (WST02 Junio 2025 Q1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ sobre [0, 1]: $F(1) = 1$ da como resultado $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. La mediana: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, es decir, $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, por lo tanto $m = 0.671$. La moda: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ y $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ da como resultado $x = 1$ (se rechaza $-1$, fuera del soporte). Asimetría: media $0.64 <$ mediana $0.671 <$ moda $1$ — asimetría negativa.
![Izquierda: una pdf triangular ascendiendo a lo largo de 2x/21 desde 0 hasta k = 3.5 y luego descendiendo a lo largo de 2(6-x)/15 hasta x = 6, valor pico 1/3 marcado. Derecha: la densidad uniforme en [-2, 14] a altura 1/16 con el intervalo [8, 14] sombreado (área 3/8).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-triangular-pdf.png?v=1792133600)
Ejemplo resuelto — una pdf lineal a trozos, sin calculadora (WST02 Junio 2025 Q5). Con $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ sobre $[0, k]$ y $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ sobre $(k, 6]$: normalizando,
por lo que $k = 3.5$ (la pdf es continua allí, ambas partes igualando $\tfrac13$). Entonces $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, y con $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ dado, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.
La distribución uniforme continua
La distribución uniforme continua sobre $[a, b]$ Uniforme sobre $[a, b]$: densidad $\tfrac1{b-a}$, CDF recta, media $\tfrac{a+b}2$, varianza $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Dos hechos determinan $a$ y $b$ (una probabilidad de intervalo da $b - a$; el media da $a + b$). Las escalas codifican la media; las probabilidades son longitudes sobre $b - a$.
Ejemplo resuelto — uniforme en un intervalo amplio (WST02 junio 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ también es válido — pero mantenga una raíz para toda la pregunta). $E(cX + 1) = 3$ da $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; y $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.
Poblaciones, muestras y estadísticas
Un censo mide a todos (completo pero costoso, lento, posiblemente destructivo); un muestreo mide parte (más barato, más rápido, pero con error de muestreo). El marco de muestreo lista las unidades de muestreo. Una estadística es una función solo de los valores de la muestra (sin parámetros desconocidos) parámetros) — $\bar X$ es, pero $\bar X - \mu$ no lo es; su distribución en muestras repetidas es la distribución muestral.
Ejemplo resuelto — una distribución muestral (WST02 Junio 2025 P4). Tres cuentas de una bolsa 2:5 negra/blanca, puntaje 4 por negra y 1 por blanca: con $P(\text{black}) = \tfrac27$, el score $X$ takes 3, 6, 9, 12 with probabilities $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ cuenta conjuntos de 9 puntos entre $n$ jugadas independientes, $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ y $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ necesita $n > 15.6$, entonces $n = 16$.
Pruebas de hipótesis
Una prueba de hipótesis compara datos contra un modelo nulo.
Establezca la hipótesis nula $H_0$ (sin cambio, el parámetro citado) y $H_1$ (de una o dos colas según se pida). Encuentre la región crítica al nivel indicado acumulando probabilidades en la cola hasta cruzar $\alpha$; informe el nivel de significancia real como la probabilidad total de la cola. De una sola cola las pruebas de una cola incluyen todo el nivel en una sola cola; las de dos colas lo dividen. Concluir EN CONTEXTO: "insuficiente evidencia de que … ha cambiado". Aproximaciones normales a la binomial: media $np$, varianza $np(1-p)$, con la corrección de continuidad (al menos $t$ significa $t - 0.5$).
Ejemplo resuelto — prueba de tasa de Poisson (WST02 junio 2025 P2). Los clientes promedian 20/hora; después de modificaciones se observa un intervalo de 30 minutos: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. Al 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$ pero $P(X \le 4) = 0.0293$ (demasiado grande); $P(X \ge 17) = 0.0270$ pero $P(X \ge 18) = 0.0143$ — región crítica $X \le 3$ o $X \ge 18$, nivel real $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. El valor observado 16 está fuera → no rechazar $H_0$.
Ejemplo resuelto — prueba binomial con zona central Normal (WST02 junio 2025 Q7). El 30% de los clientes contrata seguros; una muestra de 40 da $X\sim B(40, 0.3)$. Valor máximo de $r$ con $P(X < r) < 0.05$ (menos que $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ pero $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Para 200 clientes, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ significa $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, así que $t = 50$. Después de una oferta especial, 11 de 25 compran: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, así que rechazar $H_0$ — evidencia de que la proporción ha aumentado.
Lista de verificación antes de considerar completada esta unidad
- Enunciar supuestos binomiales/Poisson en contexto; resolver pares de media/varianza para $n$, $p$; escalar tasas de Poisson según el tiempo.
- Normalizar densidades definidas a trozos (constantes, k cuadradas perfectas); derivar F para obtener f; hallar mediana/cuartiles desde F, moda desde f' o vértices; calcular E(X), E(X²), Var; leer asimetría desde media-mediana-moda.
- Citar y derivar los hechos uniformes; determinar a y b de un intervalo más la media; mantener las probabilidades como longitudes.
- Distinguir censo vs muestra con pros y contras; reconocer estadísticos; construir pequeñas distribuciones muestrales por enumeración; envolver conteos en B(n, p) para seguimiento.
- Realizar pruebas de una y dos colas: hipótesis en símbolos y palabras, región crítica por acumulación, nivel de significancia real, conclusión contextualizada; aproximación Normal con corrección de continuidad cuando n es grande.