Mira estos números. Una pila pequeña dice uno punto cinco voltios. Una batería de coche dice doce. Una línea de transmisión de alta tensión transporta cuatrocientos mil. Un…
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9.1
Energía Potencial Eléctrica
Syllabus
Objetivo de aprendizaje 9.1.A: Describir la energía potencial eléctrica de un sistema.
9.1.A.1 La energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales es igual a la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer las cargas puntuales a sus posiciones actuales desde el infinito.
9.1.A.2 La forma general para la energía potencial eléctrica entre dos objetos cargados está dada por la ecuación:
9.1.A.3 La energía potencial eléctrica total de un sistema puede determinarse calculando la suma de las energías potenciales eléctricas de las interacciones individuales entre cada par de objetos cargados en el sistema.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Cuando empujas dos cargas iguales juntas, realizas trabajo 功 contra la fuerza eléctrica. Ese trabajo es almacenado por el par como energía potencial eléctrica 电势能:
$U_E$ se define como el trabajo que una fuerza externa debe realizar para traer las cargas desde el infinito hasta una distancia $r$ entre sí. Los signos portan la física:
Cargas iguales:$U_E>0$. Se necesitó un empuje externo para acercarlas. Si se liberan, vuelan en direcciones opuestas y la energía almacenada se convierte en energía cinética 动能.
Cargas opuestas:$U_E<0$. El par está ligado. Debes suministrar $|U_E|$ de trabajo para separarlas hasta el infinito.
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa 保守力: el trabajo que realiza depende únicamente de los puntos inicial y final, no del camino, e iguala $-\Delta U_E$.
Para un sistema 系统 de varias cargas, suma la energía potencial de cada par distinto:
Ejercicio resuelto. Tres $+2.0\ \mu\text{C}$ cargas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero con lados $0.30\ \text{m}$. Cada par almacena $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Hay tres pares, por lo tanto $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. Esta es la cantidad de trabajo necesaria para ensamblar el triángulo desde el infinito —y la energía cinética que compartirían las cargas si todas fueran liberadas.
9.2
Potencial Eléctrico
Syllabus
Objetivo de Aprendizaje 9.2.A: Describir el potencial eléctrico debido a una configuración de objetos cargados.
9.2.A.1 El potencial eléctrico describe la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio.
9.2.A.2 Las expresiones para el potencial eléctrico de distribuciones de carga se pueden encontrar utilizando la integración y el principio de superposición.
9.2.A.2.i El potencial eléctrico para una carga puntual única es:
Ecuación:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii El potencial eléctrico debido a múltiples cargas puntuales puede determinarse mediante el principio de superposición escalar del potencial eléctrico de cada una de las cargas puntuales.
9.2.A.3 La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es el cambio en la energía potencial eléctrica por unidad de carga cuando se mueve una carga de prueba entre los dos puntos.
Ecuación:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 La diferencia de potencial eléctrico también puede resultar de procesos químicos que causan la separación de cargas positivas y negativas, como ocurre en una batería.
Enunciado de límite: AP Physics C: Electricidad y Magnetismo solo espera que los estudiantes utilicen cálculo para encontrar el potencial eléctrico resultante de las siguientes distribuciones de carga y ubicaciones: un alambre o cilindro infinitamente largo con carga uniforme a una distancia de su eje central, un anillo delgado de carga en una ubicación a lo largo del eje del anillo, un arco semicircular o parte de un arco semicircular en su centro, y un alambre finito o línea de carga en un punto colineal con la línea de carga o en una ubicación a lo largo de su bisectriz perpendicular.
Objetivo de Aprendizaje 9.2.B: Describir la relación entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico.
9.2.B.1 El valor de una componente del campo eléctrico en cualquier dirección en una ubicación dada es igual al negativo de la tasa espacial de cambio del potencial eléctrico en esa ubicación.
Ecuación:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 El cambio en el potencial eléctrico entre dos puntos puede determinarse integrando el producto punto del campo eléctrico y el desplazamiento a lo largo del camino que conecta los puntos.
Ecuación:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Los mapas vectoriales del campo eléctrico y las líneas equipotenciales son herramientas para describir el campo producido por una carga o configuración de cargas y pueden usarse para predecir el movimiento de objetos cargados en el campo.
9.2.B.3.i Las líneas equipotenciales representan líneas de igual potencial eléctrico. Estas líneas también se denominan isolíneas de potencial eléctrico.
9.2.B.3.ii Las isolíneas son perpendiculares a los vectores del campo eléctrico. Un mapa de isolíneas de potencial eléctrico puede construirse a partir de un mapa vectorial del campo eléctrico, y un mapa del campo eléctrico puede construirse a partir de un mapa de isolíneas.
9.2.B.3.iii Un vector de campo eléctrico apunta en la dirección de disminución del potencial.
9.2.B.3.iv No hay componente de un campo eléctrico a lo largo de una isolínea.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El potencial eléctrico 电势 es la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio. Se mide en voltios ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
El potencial es un escalar 标量: tiene un signo pero no dirección. Esto hace que $V$ sea mucho más fácil de manejar que el campo $\vec{E}$. Para varias cargas puntuales 点电荷, utiliza la superposición escalar – suma los potenciales con sus signos:
Ejercicio resuelto. El potencial $0.10\ \text{m}$ generado por una $+3.0\ \text{nC}$ carga puntual es $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Ahora añade una $-3.0\ \text{nC}$ carga $0.30\ \text{m}$ desde el mismo punto: contribuye con $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, por lo que el total es $270-90=180\ \text{V}$. Simplemente una suma con signo – sin componentes vectoriales que resolver.
Distribuciones de carga continuas
Para una distribución continua de carga 连续电荷分布, divídela en pequeños fragmentos $dq$, trata cada fragmento como una carga puntual e integra 积分:
Esta es una integral escalar, por lo que suele ser mucho más sencilla que la integral del campo. AP espera que manejes cuatro formas con cálculo: un anillo delgado (en un punto sobre su eje), un arco (en su centro), una línea o alambre finito (colineal, o sobre su bisectriz perpendicular) y un alambre o cilindro infinito (a una distancia de su eje).
Un anillo de carga: cada elemento dq se encuentra a la misma distancia de un punto sobre el eje
Ejemplo resuelto (anillo de carga). Un anillo delgado de radio $R$ lleva una carga total $Q$. Para un punto $P$ en el eje a una distancia $z$ del centro, cada elemento $dq$ se encuentra a la misma distancia $r=\sqrt{R^2+z^2}$ de $P$. Dado que la distancia es constante, sale de la integral:
En una pregunta de respuesta larga (FRQ), indique que $r$ es igual para cada elemento; esa afirmación constituye el paso valorado. La misma idea da $V=kQ/R$ en el centro de cualquier arco, sin importar su ángulo.
Del potencial al campo
El potencial y el campo contienen la misma información, ligados por una derivada en cada dirección y por una integral de línea:
El campo es el negativo gradiente 梯度 del potencial: $\vec{E}$ apunta desde alto potencial hacia bajo potencial, "cuesta abajo". Donde $V$ cambia rápidamente, el campo es fuerte.
Ejemplo resuelto. A lo largo del $x$-eje, $V(x)=3x^{2}-2x$ (voltios, con $x$ en metros). Entonces $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. En $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: el campo allí apunta en la dirección $-x$.
En un campo uniforme, el potencial desciende progresivamente con la distancia
La diferencia de potencial 电势差 entre dos puntos es el cambio en energía potencial por unidad de carga movida entre ellos: $\Delta V=\Delta U_E/q$. Una batería produce una diferencia de potencial químicamente: las reacciones internas separan la carga positiva de la negativa y mantienen los terminales a una fija $\Delta V$ de distancia.
El potencial cerca de una carga puntual varía como 1/r
Mapas equipotenciales
Una línea equipotencial 等势面 (también llamada isolinia 等值线) une puntos que comparten el mismo potencial. Cuatro reglas permiten leer cualquier mapa:
Las isolíneas son perpendiculares 垂直 a las líneas de campo 电场线 dondequiera que las crucen.
$\vec{E}$ apunta de alto $V$ a bajo $V$ — nunca a lo largo de una isolínea. Mover una carga a lo largo de una isolínea no requiere trabajo.
Las isolíneas muy juntas indican un campo fuerte: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
Puede trazar el mapa del campo a partir de un mapa de isolíneas, y el mapa de isolíneas a partir de un mapa del campo.
Líneas equipotenciales alrededor de un dipolo cruzan las líneas de campo en ángulos rectos
Habilidad para el examen. Dado un mapa con isolíneas cada $10\ \text{V}$ espaciadas aproximadamente $2\ \text{cm}$ apartes, estime $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, apuntando desde la línea de mayor valor a la de menor valor. El trabajo que realiza un agente externo al mover una carga $q$ lentamente desde $A$ hasta $B$ es $W=q(V_B-V_A)$ — el camino seguido no importa.
Líneas de transmisión de alta tensión: la energía potencial eléctrica se convierte y transmite como corriente a alta tensión
Explorar
Líneas de campo y el potencial alrededor de una carga
El potencial eléctrico es la energía por unidad de carga. Disminuye con la distancia desde una carga positiva; las líneas de campo apuntan de alto potencial a bajo potencial.
Objetivo de aprendizaje 9.3.A: Describir los cambios en un sistema debido a una diferencia de potencial eléctrico entre dos lugares.
9.3.A.1 Cuando un objeto cargado se mueve entre dos ubicaciones con diferentes potenciales eléctricos, el cambio resultante en la energía potencial eléctrica del sistema objeto-campo viene dado por la siguiente ecuación.
Ecuación:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 El movimiento de un objeto cargado entre dos puntos con diferentes potenciales eléctricos resulta en un cambio en la energía cinética del objeto consistente con la conservación de la energía.
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Cuando una carga $q$ se mueve entre dos puntos que difieren en potencial por $\Delta V$, la energía potencial del sistema carga-campo cambia en
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
Si solo actúa la fuerza eléctrica, la energía total se conserva, por lo que la energía cinética cambia en la cantidad opuesta:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Observe ambos signos juntos: una carga positiva acelera cuando se mueve hacia un potencial menor, mientras que una carga negativa acelera cuando se mueve hacia un potencial mayor. En ambos casos, el sistema simplemente intercambia energía potencial por energía cinética. Así es como los aceleradores de partículas proporcionan energía a las partículas cargadas, y esto fundamenta el análisis energético en circuitos.
Ejemplo resuelto. Un protón ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) parte del reposo y es acelerado a través de una caída de potencial de $500\ \text{V}$ (se mueve hacia un potencial menor, por lo que $\Delta V=-500\ \text{V}$ y $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Al establecer $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Habilidad para exámenes. Elija métodos energéticos, no cinemáticos, siempre que el campo no sea uniforme o la trayectoria sea curva; solo importan los potenciales en los puntos inicial y final. Una cadena típica de preguntas de respuesta libre incluye $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, con una línea de justificación: "la fuerza eléctrica es conservativa, por lo tanto la energía se conserva."
9.3
Consejos para el examen
Relacione el campo y el potencial mediante $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ y $\vec E=-\nabla V$ (en 1-D, $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
El potencial es una escalar — sume las contribuciones con sus signos, sin necesidad de componentes vectoriales.
La energía potencial de un par es $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; utilice la conservación de la energía para determinar la velocidad de una carga.
Sepa que no se realiza trabajo al moverse a lo largo de una superficie equipotencial, la cual es perpendicular a $\vec E$.
Elija el cero de potencial (generalmente el infinito) y indíquelo explícitamente.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
