المستقيمات المتوازية والعمودية
| English | العربية |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | التوازي |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودية |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | المقلوب السالب |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | المنصف العمودي |
قضبان السكك الحديدية وشبكات المدن
- قضبان السكك الحديدية تسير متوازية — نفس الميل، لا تتلاقى أبداً، تمتد إلى الأفق.
- الشوارع في مدينة مخطط لها مثل نيويورك أو برشلونة تتقاطع بـ زاوية قائمة، مشكلة شبكة.
- كلا المفهومين — المتوازي والعمودي — يعودان إلى شيء واحد: الميل.
الخطوط المتوازية
- الخطوط المتوازية لا تتلاقى أبداً، بغض النظر عن مدى امتدادها.
- الخطوط المستقيمة غير الرأسية المتوازية عندما يكون لها نفس الميل. الخطوط الرأسية متوازية أيضًا، لكنها ليس لها ميل معرف.
- $y = 4x - 1$ و $y = 4x + 7$ متوازيان (كلاهما له $m = 4$).
إيجاد خط موازٍ. الخط الموازٍ لـ $y = 4x - 1$ المار عبر $(1, -3)$: نفس الميل $4$، إذن $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. المعادلة هي $y = 4x - 7$.
تتشابه الخطوط المتوازية في الميل؛ وينتج حاصل ضرب ميول الخطوط المتعامدة $-1$
متوازية وعمودية
y = ax + b
المتوازية تشارك الميل؛ العمودية حاصل ضرب ميليهما يساوي −1.
المستقيم موازٍ لـ y = 4x − 1 ويمر بالنقطة (1, −3). في معادلة y = 4x + c، ما قيمة c؟
التوازي → نفس الميل 4. −3 = 4(1) + c، إذن c = −7.
أي مستقيم موازٍ لـ y = −2x + 5؟
المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. y = −2x − 3 له ميل −2، نفس ميل y = −2x + 5.
خطوط متعامدة (موسعة)
- يكون الخطان متعامدين إذا التقيا بزاوية قائمة ($90°$).
- حاصل ضرب ميولهما يساوي $-1$:
- بالكلمات: قلّب الكسر وغيّر الإشارة (ال معكوس السالب).
- الميل $\dfrac{3}{2}$ → ميل متعامد $-\dfrac{2}{3}$.
متوازي (سماوي): نفس الميل. متعامد (وردي + بنفسجي): حاصل ضرب الميول يساوي $-1$.
للمستقيم ميل 3/2. ميل مستقيم عمودي عليه هو:
قلّب وغيّر الإشارة: الميل العمودي = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
للمستقيمين العموديين حاصل ضرب ميليهما يساوي −1.
m₁ × m₂ = −1 هو الخاصية المميزة للميول العمودية.
إذا كان المستقيمان عموديين، فإن m₁ × m₂ = ______.
حاصل ضرب الميول العمودية دائماً −1.
مثال محلول — خط متعامد
- أوجد الخط المتعامد لـ $y = 2x + 3$ المار بـ $(4, 1)$.
- الميل الأصلي $m_1 = 2$، لذا فإن ميل العمودي عليه هو $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- عوض: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- الخط المتعامد هو $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
لا تنسَ كلا الخطوتين. الميل المتعامد هو قلّب AND غيّر الإشارة. الميل $3$ → متعامد $-\dfrac{1}{3}$ (وليس $\dfrac{1}{3}$، الذي سيكون فقط المعكوس).
للمستقيم ميل 5. ما هو ميل مستقيم عمودي عليه؟
الميل العمودي = −1/5 = −0.2.
عمود المنصف (موسعة)
- عمود المنصف للقطعة يقطعها إلى نصفين بزاوية قائمة.
- الطريقة (ثلاث خطوات):
- 1. أوجد منتصف القطعة.
- 2. أوجد الميل العمودي ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. استخدم الميل المتعامد والمنتصف لكتابة المعادلة.
صل كل زوج من الميول (m₁, m₂) بالعلاقة بين المستقيمين.
2/3 × (−3/2) = −1 → عموديان. 4 = 4 → متوازيان. 1 × (−1) = −1 → عموديان. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 و 5 ≠ −5 → لا علاقة بهما.
رتب خطوات إيجاد نصاف القطعة العمودية للنقطتين (0, 0) و (6, 2).
أوجد أولاً نقطة المنتصف، ثم ميل القطعة، ثم قلّب وتغير للإشارة لإيجاد الميل العمودي، ثم عوض في y = mx + c.
مخططو المدن وقواعد الميل
- تم تخطيط شبكة مانهاتن عام 1811 بحيث تكون الشوارع الرئيسية شمالية-جنوبية والشوارع الفرعية شرقية-غربية — جميعها متعامدة.
- في المقابل، تمتلك المدن الأوروبية القديمة شوارعًا تتقاطع بزوايا مختلفة — لا توجد قاعدة لميل محددة.
- يستخدم المهندسون الميول المتعامدة لتصميم تقاطعات الطرق، عبارات السكك الحديدية، وأسس المباني.
لقد فهمت الأمر
- متوازي → نفس الميل ($m_1 = m_2$)
- متعامد → حاصل ضرب الميول يساوي $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$، "قلّب وغيّر الإشارة")
- عمود المنصف = ميل متعامد يمر بالمنتصف
- موازٍ لـ $y = 4x - 1$ عبر $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$